Continuidad de una función

Una función f es continua en x=a si se cumplen las tres condiciones: i) existe f(a). ii) existe lim x→a f(x). iii) f(a)=lim x→a f(x). Una función f es continua en un intervalo [a, b] si f es continua V x ε [a, b].

Tipos de discontinuidades

1. Discontinuidad evitable: existe el límite en x=a pero no coincide con la imagen de la función en x=a, también cuando no existe f(a) pero sí el límite. 2. Discontinuidad inevitable de salto finito: los límites laterales en x=a existen pero no coinciden. 3. Discontinuidad inevitable de salto infinito: si en x=a alguno de los límites laterales es infinito o no existe.

Teorema de Bolzano

Si una función f es continua en un intervalo cerrado [a, b] y f(a) · f(b) < 0, entonces existe c ε (a, b) tal que f (c)=0.

Introducción a la derivada de una función

La función f es derivable en x=a si existe el límite h→0 f(a+h) – f(a) /h ε R. Al límite anterior se le denomina derivada de f en a y se designa por f'(a). Si f es derivable en x=a, f es continua en x=a.

Teorema de Rolle

Si f es una función continua en [a, b], derivable en (a, b) y f(a) = f (b), entonces existe al menos un punto c ε (a, b) con f'(c)=0.

Teorema del valor medio del cálculo diferencial

Si f es una función continua en [a, b] y derivable en (a, b), entonces existe al menos un punto c ε (a, b) con f'(c) = f(b) – f(a) /b- a.

Regla de L’Hôpital

Regla que nos permite usar las derivadas para resolver indeterminaciones del tipo 0/0 o ∞/∞ resultado del cociente de dos funciones.

Derivabilidad de funciones

Una función f es derivable en x=a si existen f'(a+) y f’ (a-) y son iguales. A f’ (a+) y f’ (a-) se les denominan derivadas laterales de f en x=a.

Primitiva de una función

Si f(x) es una función definida en un intervalo, una primitiva de f(x) en ese intervalo es otra función F(x) tal que F'(x)=f(x) para todo x de ese intervalo. Cualquier otra primitiva G(x) de f(x) en ese intervalo es de la forma F(x) + C.

Integral indefinida

Es el conjunto formado por todas las primitivas de una función f(x) y se representa por ∫f(x) dx.

Propiedades integral definida

1) 2) 3) 4) 5) 6) Si f ≥ g en [a, b],

Regla de Barrow

Si una función f es continua en [a, b], entonces donde F es cualquier primitiva de f.

Teorema fundamental del cálculo integral

Si una función f es continua en [a, b], F(x) = es su función integral en [a, b], entonces F es derivable en [a, b] y F'(x) = f(x).

Matriz inversa

A-1, A·A-1=I. Matriz traspuesta At: intercambiamos las filas por las columnas. Menor complementario del elemento Aij de una matriz cuadrada A es el menor que se obtiene al eliminar la fila i y la columna j. Se denota por Mij. Adjunto del elemento Aij de una matriz cuadrada A es su menor complementario multiplicado por (-1)i+j. Se denota por Aij. Propiedades de los determinantes (para matrices cuadradas): 1. La suma de dos determinantes que solo se diferencian en una columna o fila es el determinante de la matriz en la que esa columna o fila es la suma de las columnas o filas de cada uno de ellos que no son iguales y el resto de las columnas o filas son iguales. det (C1, C2, C3)+det (C1, C2′, C3)=det (C1, C2+C2′, C3). 2. Si una fila o columna de una matriz cuadrada se multiplica por un número real, el determinante queda multiplicado por dicho número. det (C1, C2, KC3)= K det (C1, C2, C3). 3. Si todos los elementos de una columna o fila de una matriz cuadrada son nulos, el determinante de la matriz es 0. 4. Si una matriz cuadrada tiene dos columna iguales o filas iguales, su determinante es nulo. 5. Si en una matriz cuadrada una columna o fila es proporcional a otra, su determinante es nulo 6. Si en una matriz cuadrada una columna o fila es combinación de sus paralelas, su determinante es nulo. 7. Si una matriz cuadrada se intercambian entre sí dos columnas y dos filas, su determinante cambiará de signo. 8. Si una matriz cuadrada se suma a una columna o fila una combinación lineal de sus paralelas, el determinante no varía. 9. Si se traspone una matriz cuadrada su determinante no varia 10. El determinante del producto de dos matrices cuadradas es el producto de los determinantes de cada una de ellas. 11. si una matriz cuadrada es invertible, el determinante de la matriz inversa es el inverso del determinante de la matriz dada. NOTA: El determinante de una matriz triangular se calcula multiplicando los elementos de la diagonal principal.

Cálculo del rango de una matriz

El rango de una matriz es el número de filas o columnas linealmente independientes: → Si A es una matriz cuadrada de orden n: det (A)≠0, rg (A)=n // det (A)=0, se busca un menor de orden n-1 distinto de 0, si lo hay, rg (A)=n-1, sino hariamos el mismo proceso con uno de orden n-2. → Si A es una matriz de dimensión mxn con m≠0: se coge un menor del mayor orden posible y se repite el mismo proceso que para matrices cuadradas. El rango de una matriz tambien se puede calcular por el método de Gauss: Se realizan sucesivas transformaciones elementales por filas de la matriz hasta lograr una matriz equivalente escalonada por filas. El rango es el número de filas no nulas de la matriz equivalente. → También se podría hacer por determinantes (Adjuntos). → También se podría hacer combinando Gauus y determinantes.

Cálculo de la matriz inversa

Si A es una matriz cuadrada, entonces existe A-1→ det (A)≠0 // A-1= 1/ /A/ · Adj (At). La matriz inversa también se puede calcular por el método de Gauss-Jordan: Se construye una nueva matriz de dimensión nx2n con las columnas de la matriz dada y, a su derecha, las de a matriz identidad de orden n: (A/I). Se aplican transformaciones elementales por filas a la nueva matriz hasta convertir las n primeras columnas en las de la matriz identidad. La matriz inversa es a formada por las últimas columnas: (I/A-1). Si al hacer el proceso apareciera una fila de ceros, la matriz no sería invertible.