La Didáctica de la Matemática es una disciplina que estudia los procesos de trasmisión y adquisición de los diferentes contenidos de las Matemáticas, particularmente en situación escolar.Se propone describir y explicar los fenómenos relativos a las relaciones entre su enseñanza y su aprendizaje. 

La didáctica siempre la asociaremos a una disciplina concreta (Matemáticas) y hacemos la hipótesis de que el contenido disciplinar es una variable determinante en el
estudio de los fenómenos de enseñanza y aprendizaje. Es en este sentido particular donde difiere de la pedagogía.

LOS PRINCIPALES CONCEPTOS DE LA DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA

Consideramos la Didáctica de la Matemática como un campo específico con sus propios términos, apoyándose en disciplinas cercanas (epistemología, antropología, lin-
güística,…), pero no es reducible a ninguna de estas. Tiene su propia identidad, con sus problemas y métodos específicos.
Aunque son muchos los elementos que pueden intervenir en la Didáctica de la Matemática, en una primera aproximación, consideraremos que hay que analizarla bajo
una perspectiva sistémica. Es decir, teniendo en cuenta al alumno, el saber y al profesor como constituyentes del siguiente triángulo didáctico. Evidentemente son las relaciones entre estas componentes las que hay que estudiar en este enfoque sistémico:
Saber Alumno Profesor
••• La interacción alumno-saber: la noción de significado personal
El alumno siempre tiene unas ideas sobre los conceptos matemáticos (que están relacionadas con las prácticas que ha realizado con dichos conceptos o, incluso, con elementos no matemáticos), es decir, no parte de cero. A estas ideas que operativamente son las prácticas realizadas por el sujeto y las inferencias correspondientes se les denomina significado personal. Lo que tiene que intentar la instrucción es gestionar adecuadamente esos significados y facilitarle la construcción de otros nuevos.
Didácticamente, esta noción es esencial para comprender las producciones de los alumnos y, en particular, sus errores y dificultades. Por tanto, está en la esencia de los análisis didácticos.
••• La interacción alumno – profesor: la noción de contrato didáctico
A veces, ciertos errores de los alumnos son bastante incomprensibles, pero precisamente por ello es necesario estudiar los significados que subyacen a dichos errores.
Es conocido el hecho de que alumnos de 8 y 9 años, ante un problema del tipo: “Si en un barco van 15 cabras y 20 gallinas, ¿cuál es la edad del capitán?, algunos alumnos responden que el capitán tiene 35 años. ¿Qué nos plantea esta contestación?, ¿qué subyace a ella? Seguramente el alumno piensa que es un problema que les ha planteado el profesor y que, por tanto, debe tener solución, como todos los que se hacen en clase. Son unas reglas implícitas no escritas normalmente que, junto a otras, rigen la marcha diaria de las relaciones en el aula y que constituyen lo que se denomina el contrato didáctico.
Este concepto es muy útil cuando se estudian los resultados de los alumnos a tareas matemáticas que se les proponen. La ruptura del contrato didáctico da lugar a ciertos fenómenos didácticos detectables en el aula, como son: “la edad del capitán”; el efecto Topaze; el efecto Jourdain; el abuso de la analogía y el deslizamiento metadidáctico.
••• El polo del saber: la transposición didáctica y el campo conceptual
El saber que figura en los programas oficiales proviene de los descubrimientos realizados a lo largo de la historia de la ciencia por los matemáticos, físicos,… Se suele decir que este saber es el saber sabio o científico. Por otro lado, a las prácticas profesionales o culturales se les suele denominar prácticas sociales de referencia o saber institucional. Todo el trabajo de adaptación de experimentar esos saberes hasta ponerlos a disposición de los alumnos, se le conoce con el nombre de transposición didáctica. Evidentemente, son varias las fases a contemplar en dicha transposición; desde el saber
científico (o las prácticas sociales de referencia) a los programas, de éstos a los manuales, de éstos los apuntes de clase, de éstos a los alumnos. Cuando se analizan los saberes a enseñar y los procesos de conceptualización en los alumnos, se ve que los conceptos matemáticos no funcionan de manera aislada unos de otros, sino que hay que considerar el conjunto de situaciones cuyo tratamiento
implica esquemas, conceptos y teoremas, en estrecha conexión, así como las representaciones lingüísticas y simbólicas susceptibles de ser utilizadas para representarlas. Es lo que Vergnaud denomina campo conceptual.
••• El polo del alumno: la aproximación socio-constructivista del aprendizaje
Existen diversas modelizaciones sobre cómo aprenden los alumnos. En Didáctica de la Matemática una de las que más seguidores tiene es el modelo socio – constructivista, el cual se apoya en los trabajos de Brousseau, Bachelard, Doaudy, Chevallard y Conffrey. Una parte de las investigaciones en Didáctica de la Matemática consiste en la elaboración de situaciones – problema, las cuales se experimentan y, después, se analizan viendo sus efectos y funcionamiento en clase. Es lo que se denomina ingeniería didáctica.
••• La situación-problema. Características
Lo que pone en movimiento el triángulo didáctico es lo que se denomina situaciónproblema, que junto a dicho triángulo constituye el sistema didáctico.

Saber Situación-problema Alumno Profesor Sistema didáctico Noosfera
Una situación-problema es una actividad que se propone a los alumnos y que ha de reunir las características que expresan a continuación.
1) Poner en juego una situación-problema supone que se localice previamente:
– O bien una concepción errónea de los alumnos ligada a la adquisición de conocimiento que se desea enseñar (obstáculos epistemológicos).
– O bien un procedimiento correcto pero que se va revelar poco económico o “pesado” o “fuente de errores”.
2) Los alumnos han de poder fácilmente empeñarse en la resolución del problema movilizando sus concepciones erróneas o procedimientos insuficientes (devolución del problema).
3) Los conocimientos de los alumnos han de ser insuficientes o fuente de errores para resolver el problema. El objetivo es adquirir un conocimiento nuevo.
4) Los alumnos han de tener un medio de control sobre sus respuestas (condición no fácil de cumplir). La confrontación de resultados en el seno de un grupo de trabajo permite ese control. Se habla entonces de la puesta en práctica del conflicto sociocognitivo.
5) El conocimiento que se ha de adquirir debe ser la herramienta o útil más adaptado a la resolución del problema.
6) El profesor debe realizar un análisis a priori de la situación, preguntándose: ¿Qué deben hacer los alumnos de cara a este problema?, ¿qué estrategias podrán en práctica?, ¿qué conocimientos se emplean? El profesor puede hacer elección de ciertos elementos de la situación que pueden entrañar cambios de procedimiento en la resolución de los alumnos. Esos elementos de la situación se denominan variables didácticas.
7) El problema debe permitir la traducción de su representación semiótica en varios lenguajes: geométrico, numérico, vernáculo, algebraico…, de forma que esto facilite la construcción del conocimiento. El alumno ha de darse cuenta de que el conocimiento matemático es el mismo aunque se cambie de representación. Es decir, ha de ser capaz de coordinar los diferentes sistemas de representación semiótica del conocimiento, lo que significa saber en todo momento que se trata de un mismo conocimiento aunque con distintos sistemas de representación.
••• La noosfera
Todo lo que rodea al sistema didáctico (asociaciones de padres, opinión del equipo directivo, expertos del MEC, administraciones educativas,…) constituyen la noosfera. Su incidencia es obvia en el sistema didáctico, al ser la causa de restricciones sobre el saber institucional.

las reglas son las siguientes:
• Diez símbolos o cifras permiten escribir todos los números.
• Cada cifra tiene un valor diferente según la posición que ocupe.
• Cada diez unidades de un determinado orden constituyen una unidad del orden inmediatamente superior; se puede hablar de agrupamiento por diez o incluso de base diez y de la regla de cambio “diez contra uno”.
• Se pone en evidencia el aspecto recursivo de esta regla de agrupamiento: se aplica la misma regla de agrupamiento a objetos diferentes constituidos por las unidades de diversos órdenes.
• Al utilizar el cero se indica la ausencia de agrupamiento de un orden dado.
• Se observa por otra parte que todo número se puede descomponer según las potencias de la base. De esta manera se ponen de manifiesto los agrupamientos utilizados y el hecho de que un agrupamiento dado puede expresarse en función de los precedentes o de los siguientes; apareciendo así las relaciones operatorias entre los agrupamientos. 2.507 puede leerse como 25 centenas y 7 unidades pero también como 250 decenas y 7 unidades. – Cuando se comparan los sistemas analizados se pone en evidencia el papel del
cero, de la posición y de la base.
– Se observa entonces que la base puede definirse de dos maneras.
• Para enumerar una gran colección se pueden utilizar agrupamientos sucesivos y reiterar la misma regla de agrupamiento: el número de elementos elegidos para constituir un agrupamiento se llama base del sistema de numeración. La numeración egipcia es de base diez y la babilónica de bases diez y sesenta.
• Pero se puede también llamar base al número de símbolos utilizados para escribir todos los números según un sistema de numeración. En este caso, la numeración egipcia no tiene más que siete símbolos y la babilónica nada más que dos, lo que causa numerosos inconvenientes, mientras que nuestro sistema se compone de tantos como el número de elementos necesarios para realizar un agrupamiento.
– Este estudio comparado permite también referirse a las técnicas de cálculo y a los medios de comparación de los números en los diferentes sistemas. La eficacia de un sistema de numeración se mide en efecto por:
• la posibilidad de escribir todos los números de manera unívoca y sin utilizar demasiado los símbolos;
• la posibilidad de comparar con cierta rapidez los números a partir de sus escrituras;
• la posibilidad de calcular rápidamente con reglas simples.

Técnica de recuento para obtener cardinales
Las técnicas de recuento actuales se basan en la existencia de unas palabras (numéricas) que se recitan siempre en el mismo orden. Estas palabras forman un conjunto bien
ordenado (hay un primer elemento y un siguiente para cada una de ellas). Para obtener el cardinal de un conjunto se realizan las siguientes acciones:
• Se adjudica a cada elemento del conjunto contado una palabra numérica distinta y sólo una en el orden habitual: uno, dos, tres,…, treinta.
• Una vez acabada la fase anterior, la palabra adjudicada al último elemento del conjunto contado, se repite, haciendo referencia con ella a toda la colección (treinta) y
designando el número de elementos o cardinal del conjunto.

Técnicas auxiliares del recuento
Cuando estamos contando los elementos de un conjunto, necesitamos distinguir en cada paso subconjunto ya contado, del no contado. Las técnicas auxiliares que se utilizan son:
• Trazar mental o físicamente un camino a seguir cuando vamos contando los objetos. Marcar los objetos ya contados.
• Separar manual o mentalmente los objetos contados de los no contados (realizar una partición del conjunto).
• Sustituir la colección de partida por otra que tenga el mismo cardinal, contando esta última. El uso de una u otra técnica auxiliar depende de:
. el número de elementos del conjunto contado;
. la configuración geométrica del conjunto;
. el tipo de objetos que constituyen el conjunto contado;
. la accesibilidad de los elementos del conjunto (objetos físicos al alcance de la mano, objetos físicos al alcance de la vista pero no de la mano, objetos evocados mentalmente).
. la movilidad de los objetos

Principios que subyacen en las técnicas de contar

El análisis de las diversas técnicas de contar pone de manifiesto los principios que subyacen en ellas, es decir, los aspectos conceptuales que es necesario entender y tener en cuenta para contar correctamente. En el caso de la técnica de contar para obtener cardinales son los siguientes:
• Principio del orden estable. Las palabras numéricas uno, dos, tres, …deben recitarse siempre en el mismo orden, sin saltarse ninguna.
• Principio de la correspondencia uno a uno. A cada elemento del conjunto sometido a recuento se le debe asignar una palabra numérica distinta y sólo una.
• Principio de irrelevancia del orden. El orden en que se cuentan los elementos del conjunto es irrelevante para obtener el cardinal del conjunto.
• Principio cardinal. La palabra adjudicada al último elemento contado del conjunto representa, no sólo el ordinal de ese elemento, sino también el cardinal del conjunto.
• Principio de abstracción. Todos los principios anteriores pueden ser aplicados a
cualquier conjunto de entidades.
En el caso de la técnica de contar para obtener ordinales los principios que la dirigen son el del orden estable, el de la correspondencia uno a uno y el de abstracción referido
únicamente al propio elemento y a los anteriores a él. Aquí el orden en que sean elegidos los elementos del conjunto para adjudicarles las palabras numéricas ya no es
irrelevante de cara a la obtención del ordinal correspondiente.

Técnicas abreviadas de contar

Las técnicas de contar exigen mucho tiempo cuando los elementos a contar son muchos. No es extraño, por tanto, que se intente hacerlas más breves. Algunas situaciones
permiten acortar el proceso de contar, partiendo de una colección de objetos de cardinal conocido al que se añaden o suprimen elementos para obtener el cardinal de la colección
modificada. Las formas más importantes de abreviar los recuentos son las siguientes:
• Contar de dos en dos, de tres en tres, etc., aprovechando nuestra capacidad de reconocer directamente los cardinales de conjuntos pequeños.
• Contar hacia delante o hacia atrás, desde un cardinal dado. Por ejemplo, si tenemos un conjunto de dieciocho objetos y nos dicen que añadamos algunos más, no volvemos a
contar todo para saber el cardinal del nuevo conjunto, sino que contamos los nuevos objetos adjudicándoles las palabras ‘diecinueve’, ‘veinte’, ‘veintiuno’, etc. De la misma
manera, si queremos suprimir unos cuantos objetos de un conjunto de dieciocho vamos adjudicando a los objetos suprimidos las palabras’ diecisiete’, ‘dieciséis’, etc. y la última
palabra numérica indicará el cardinal del conjunto final.
• Contar hacia delante o hacia atrás desde un cardinal dado hasta otro cardinal también dado. Esta técnica se usa cuando queremos saber cuántos objetos hay que añadir o
quitar a un conjunto de cardinal dado para obtener otro cardinal conocido, o bien, qué diferencia existe entre dos conjuntos de cardinal dado. Por ejemplo, si nos preguntan
cuántos objetos hemos añadido a un conjunto que tenía dieciséis y ahora tiene veinticuatro objetos, podemos decir: diecisiete, dieciocho, diecinueve, veinte, veintiuno,
veintidós, veintitrés, veinticuatro, al mismo tiempo que vamos levantando dedos. Al final tendremos ocho dedos levantados que nos dan la respuesta a la pregunta inicial.
Del mismo modo, si nos preguntan cuántos objetos hay que quitar para pasar de tener catorce a tener once, podemos decir: trece, doce, once, al mismo tiempo que levantamos
dedos. Los tres dedos levantados nos dan la respuesta a la pregunta.
• Contar hacia delante o hacia atrás, desde el cardinal dado tantas veces como indique el número de objetos a añadir o suprimir, respectivamente. Por ejemplo, si a un conjunto
de veinticuatro elementos le quitamos cinco elementos podemos decir: veintitrés, veintidós, veintiuno, veinte, diecinueve, a medida que vamos quitando efectivamente esos objetos o levantando dedos. El hecho de quitar los cinco objetos o tener cinco dedos levantados nos indica que la cuenta ha terminado y el resultado es diecinueve.