Modelado Estadístico y Procesamiento de Señales de Voz: Aplicaciones y Evaluación

Práctica 1: Modelado y Estimación de Señales de Voz

Modelo 1: Espacio de Muestreo Discreto

Es un modelo muy sencillo que considera la generación de muestras de señal de voz como un experimento aleatorio con un espacio de muestreo discreto S, formado por los 256 valores distintos que puede tomar una muestra m_i y que se encuentran en el rango S = {m₁ = −127, m₂ = −126,…, m₂₅₅ = 127, m₂₅₆ = 128}. Determine una ley de probabilidad a_i = P[s(n) = m_i] para este experimento aleatorio, usando la base de datos formada por los ficheros de voz “aage3201r.8bi”, “tsge3270r.8bi”, “euge0013r.8bi”, “vege1850r.8bi” (contienen enteros con signo de 8 bits, cada uno de los cuales corresponde al valor de una muestra). Los ficheros no tienen ningún tipo de cabecera.

Tabla de Probabilidades (Modelo 1)

Modelo 2: Cadena de Markov de Primer Orden

Es un modelo más sofisticado que considera la producción de una secuencia de muestras de señal de voz como un experimento aleatorio secuencial formado por experimentos dependientes que pueden ser modelados como una cadena de Markov de primer orden.

En este tipo de modelado se ha de determinar el valor de las probabilidades condicionales a_ij = P[s(n) = m_j | s(n − 1) = m_i], i,j = 1,2,…,256. Se ha de obtener, por tanto, una matriz de probabilidades condicionales de dimensión 256 × 256. Para ello se usa la misma base de datos indicada anteriormente.

% Creamos una matriz de ceros

matrizp = zeros(256);

k=256;

% Bucle de procesamiento

for i=1:1:(ntotal-1)

a=s(i);

b=s(i+1);

d=matrizp(128+a,128+b);

matrizp(128+a,128+b)=d+1;

end

% Bucle que cambia los 0 por 10e-6

for j=1:1:k

for k=1:1:k

if(matrizp(j,k)==0)

matrizp(j,k)=10e-6;

end

end

end

% Obtenemos la matriz normalizada

for i=1:k;

matrizp(i,:)=matrizp(i,:)/sum(matrizp(i,:));

end

Tabla de Probabilidades Condicionales (Modelo 2)

Con los dos modelos estadísticos desarrollados en el apartado anterior, realice las siguientes 4 estimaciones estadísticas para cada una de las muestras de voz que falten en el receptor.

Estimación 1: Máxima Probabilidad (Modelo 1)

Basada en el primer modelo. Estimaremos la muestra que falta s(n) como s(n) dada por:

s(n) = m_i que hace máxima la P[s(n) = m_i], i = 1,2,…,256

% Abrimos la 5ª muestra

f5=fopen('aage3201r.8bi','r');

s5=fread(f5,'int8')

Estimación 2: Valor Promedio (Modelo 1)

Basada en el primer modelo. Estimaremos la muestra que falta s(n) como s(n) dada por:

Estimación 3: Máxima Probabilidad Condicional (Modelo 2)

Basada en el 2º modelo. Supongamos que hemos recibido la muestra m_r en el instante n−1, es decir, s(n−1) = m_r. Estimaremos la muestra que falta en el instante siguiente s(n) como s(n) dada por:

s(n) = m_j que hace máxima la P[s(n) = m_j | s(n − 1) = m_r], j = 1,2,…,256

Estimación 4: Valor Esperado (Modelo 2)

Basada en el 2º modelo. Supongamos que hemos recibido la muestra m_r en el instante n−1, es decir, s(n−1) = m_r. Estimaremos la muestra que falta en el instante siguiente s(n) como s(n) dada por:

3. Evaluación de la Calidad de la Señal

Se va a llevar a cabo a continuación una evaluación objetiva y subjetiva de la calidad de la señal de estas 4 señales de voz. Para la evaluación objetiva, utilizad la denominada relación señal-ruido (SNR) que viene definida por:

donde N_muestras es el número total de muestras del fichero “euge0019r.8bi”.

% Calculamos la relación señal-ruido

snr1=10*(log10((sum(s5.^2))/sum((s5-muestra1).^2)))

snr1 = 10.0582

snr2=10*(log10((sum(s5.^2))/sum((s5-muestra2).^2)))

snr2 = 9.9296

snr3=10*(log10((sum(s5.^2))/sum((s5-muestra3).^2)))

snr3 = 16.0601

snr4=10*(log10((sum(s5.^2))/sum((s5-muestra4).^2)))

snr4=19.908

Desde el punto de vista objetivo, el método con el que hemos obtenido mejor relación señal-ruido es la **Estimación 4**.

Desde el punto de vista subjetivo, cualquiera de las dos estimaciones del **Modelo 2** se escuchan mejor que las dos primeras, ya que al escuchar dichos archivos el ruido es mayor en las dos primeras.

Práctica 2: Verificación de Hipótesis de Distribución

1. Descripción del Problema

Vamos a considerar el valor de las muestras de una señal como una variable aleatoria continua donde una muestra m puede tomar cualquier valor real −inf < m < inf. Después de realizar el experimento aleatorio consistente en la generación de muestras de dicha señal, hemos obtenido los datos experimentales contenidos en el fichero “muestras”. Deseamos verificar si alguna de las dos hipótesis siguientes es aceptable:

1. ¿Es una hipótesis aceptable que los datos experimentales se ajustan a una función de densidad de probabilidad Laplaciana, con varianza igual a la determinada a partir de los datos experimentales?

La forma de una distribución Laplaciana es:

con y media cero.

2. ¿Es una hipótesis aceptable que los datos experimentales se ajustan a una función de densidad de probabilidad Gaussiana, con media y varianza iguales a las determinadas a partir de los datos experimentales? La forma de una distribución Gaussiana es:

donde μ es la media y σ² es la varianza.

2. Aproximación Gráfica Inicial

Podemos inicialmente ver qué hipótesis es la más probable realizando una verificación gráfica de la PDF aproximada que se deriva de los datos y la PDF de la hipótesis. Para ello se va a usar el comando hist. Este comando nos proporciona un histograma i en una serie de intervalos (i = 1,…,n) a partir de las realizaciones de la variable aleatoria del fichero “muestras”. Obtener dicho histograma para n = 50 intervalos de la variable aleatoria y normalizar el histograma por el número total de realizaciones. La razón de la normalización es facilitar la comparación del histograma con la PDF correspondiente. Los intervalos tomados para el histograma están centrados en los puntos x_i (i = 1,2,…,50) y tienen un ancho δx que puede obtenerse como la distancia entre 2 centros consecutivos (x_i, x_i−1). El histograma normalizado i es una aproximación a la probabilidad.

Lo que puede aproximarse (para δx pequeño) como

2.1. Obtención y Superposición de PDFs

1. Obtener los valores aproximados de la PDF a partir del histograma como f_x(x_i)= i/δx y superponer la gráfica resultante con la PDF Gaussiana y la PDF Laplaciana.

¿Cuál de ellas se ajusta mejor?

2.2. Código MATLAB para la Aproximación Gráfica

Las representaciones gráficas obtenidas son las siguientes:

Si observamos las gráficas obtenidas tomando 50 intervalos, la aproximación de la PDF que más se ajusta a la PDF experimental es la PDF Gaussiana; por el contrario, la PDF Laplaciana dista bastante. Por tanto, gráficamente podemos determinar que nuestra distribución se corresponde con una distribución Gaussiana.

Tabla de Valores de la PDF Aproximada

3. Test Formal de Hipótesis (Chi-Cuadrado)

La aproximación gráfica inicial nos sirve para acotar el número de PDFs sobre las que realizar el test de hipótesis formal. En nuestro caso, y aunque de la aproximación gráfica ya se pueda inferir cuál de las 2 hipótesis tiene más posibilidades de verificarse, aun así se va a realizar el test chi-cuadrado (χ²) descrito en clase para las 2 hipótesis y así confirmar formalmente las conclusiones derivadas de la aproximación gráfica. Utilice las tablas `tablaxi2a` y `tablaxi2b`, donde `k` son los grados de libertad de la variable chi-cuadrado (v en la notación de las tablas indicadas). La relación entre `k` y el número de intervalos disjuntos `k0` en que hemos de particionar el espacio de muestreo S_x = (−inf,+inf) viene dada por k = k’− 1 − r, donde `r` es el número de parámetros que han sido determinados a partir de datos experimentales en la PDF que queremos verificar.

3.1. Código MATLAB para el Test Chi-Cuadrado

3.2. Tabla de Intervalos

3.3. Tabla de Probabilidades (Distribución Gaussiana)

3.4. Tabla de Probabilidades (Distribución Laplaciana)

3.5. Resultados del Test Chi-Cuadrado

Calculamos los grados de libertad con la siguiente fórmula: k=k’−1−r

Hipótesis Laplaciana:

Para este caso tenemos que k = 30−1−1 = 28.

El parámetro `r` vale 1, ya que para este caso solo hemos determinado 1 parámetro a partir de los datos experimentales: la varianza. `k’` es el número de intervalos, es decir, 30.

Nos vamos a la tabla proporcionada, a la fila 28. La columna depende del grado de exigencia que tomemos; nosotros vamos a tomar un grado de exigencia α=0.02. El valor de la tabla es 45.419.

Nuestra distribución Laplaciana calculada en la práctica era:

2.5722×10⁴

Por tanto, podemos decir que la distribución de nuestras muestras no se ajusta a una distribución Laplaciana.

Hipótesis Gaussiana:

Para este caso tenemos que k = 30−2−1 = 27.

El parámetro `r` vale 2, ya que para este caso hemos determinado 2 parámetros a partir de los datos experimentales: la varianza y la media.

Por tanto, debemos mirar en la fila 27 de la tabla proporcionada. El grado de exigencia es el mismo que el anterior tomado α=0.02. El valor de la tabla es 44.140.

Nuestra distribución Gaussiana calculada en la práctica era:

29.8276

Con lo cual la hipótesis basada en la variable Gaussiana no es muy buena, aunque mejor que la Laplaciana.

3.6. Conclusión del Test

Podemos concluir que la hipótesis que más se aproxima, tanto gráfica como analíticamente, es la Gaussiana.

Práctica 3: Caracterización de Procesos Aleatorios

Primera Parte: Caracterización de Variables Conjuntamente Gaussianas

• a) En el fichero gaussdim8 tiene mil realizaciones de una variable vectorial Gaussiana de dimensión 8.
• b) Determine el vector de medias `m` y la matriz de covarianza `K` de dicha variable vectorial Gaussiana a partir de las mil realizaciones.

Matriz de Covarianza

Vector de Medias

• c) ¿Son independientes entre sí las 8 variables?

No son independientes, pues la matriz de covarianzas tendría que ser diagonal.

• d) Si no son independientes entre sí, encuentre una transformación lineal `A` de la variable vectorial `x` que dé lugar a otra variable aleatoria vectorial Gaussiana y cuyas variables sean independientes entre sí. Para ello, utilice la función eig de MATLAB. Dicha función, al aplicarla sobre una matriz simétrica `K`, nos devuelve una matriz `B` que contiene los autovectores de `K` y una matriz diagonal `D` que contiene los autovalores de `K`, `[B,D] = eig(K)`, verificándose que B^TKB = D. Determine las medias y las varianzas de las 8 nuevas variables Gaussianas independientes.

Diagonalizamos y obtenemos los siguientes resultados para el vector de medias y matriz de covarianza.

Matriz de Covarianza Final

Vector de Media Final

Código Fuente en MATLAB:

Segunda Parte: Procesos Aleatorios

• a) En el fichero signal1 se encuentran 2000 realizaciones de un muestreo en 128 instantes de tiempo de un proceso aleatorio Gaussiano x(n) discreto en el tiempo.
• b) Determine la media m_x(n) y la función de autocorrelación r_x(n1, n2) de dicho proceso aleatorio a partir de las 2000 realizaciones que tiene del proceso aleatorio.

Código Fuente en MATLAB:

Media m_x(n)

¿Es razonable afirmar que es un proceso estacionario en sentido amplio?

Las medias son aproximadamente iguales y próximas a cero.

Y observando las gráficas, apreciamos que la función de autocorrelación se mantiene constante mientras la diferencia de tiempo sea igual.

Por lo tanto, podemos afirmar que es un proceso estacionario en sentido amplio.

• c) En el fichero signal1erg se encuentra una única realización del mismo proceso aleatorio, pero del que hemos tomado ahora un muestreo en 128000 instantes de tiempo. Determine la media temporal m_t y la función de autocorrelación temporal r_t(k) de dicha realización. ¿Es razonable afirmar que el proceso aleatorio es ergódico en la media y en la autocorrelación?

Código en MATLAB

Calculamos la media temporal y obtenemos que es igual a 0.0429

Tabla de la Función de Autocorrelación

• d) Si la pregunta anterior ha sido afirmativa, utilice la función r_t(k) para determinar la densidad de potencia espectral S_x(f) del proceso aleatorio. Represente S_x(f) frente a la frecuencia en Hz, teniendo en cuenta que el proceso aleatorio corresponde a una señal muestreada a 8 kHz.

Código Fuente en MATLAB

Gráfica de Densidad de Potencia Espectral