Fórmulas de Derivadas y Propiedades de Funciones Matemáticas

1. Tabla de Derivadas Fundamentales

• f(x) = 5 → f'(x) = 0 (Derivada de una constante)
• f(x) = x → f'(x) = 1 (Derivada de la función identidad)
• f(x) = xⁿ → f'(x) = n · x^{n – 1} (Regla de la potencia)
• f(x) = √x → f'(x) = 1 / (2 · √x)
• f(x) = sen x → f'(x) = cos x
• f(x) = cos x → f'(x) = -sen x
• f(x) = tg x → f'(x) = 1 + tg² x = 1 / cos² x
• f(x) = arc tg x → f'(x) = 1 / (1 + x²)
• f(x) = e^x → f'(x) = e^x
• f(x) = a^x → f'(x) = a^x · ln a
• f(x) = ln x → f'(x) = 1 / x
• f(x) = log_a x → f'(x) = (1 / x) · (1 / ln a)

1.1. Reglas de Operación con Derivadas

• (f ± g)’ = f’ ± g’
• (f · g)’ = f’ · g + f · g’ (Regla del producto)
• (f / g)’ = (f’ · g – f · g’) / g² (Regla del cociente)
• (a · f)’ = a · f’ (Constante por una función)

2. Estudio del Dominio de una Función

• Polinomio: El dominio D(f) son todos los números reales (ℝ).
• Fracciones algebraicas: D(f) = ℝ – {ceros del denominador}.
• Raíz de índice par: D(f) se obtiene cuando lo de dentro es ≥ 0 (estudio en la recta real).
• Raíz de índice impar: El dominio es el mismo que si no estuviera la raíz.
• Logaritmo: Lo de dentro debe ser > 0 (estudio en la recta real).
• Fracción con raíz en el denominador: Lo de abajo debe ser estrictamente > 0.
• Fracción con raíz en el numerador: Se analizan por separado; arriba lo de dentro ≥ 0 y abajo el denominador ≠ 0.

2.1. Tipos de Funciones y sus Características

• Traslaciones: f(x) + a (desplazamiento vertical hacia arriba); f(x + a) (desplazamiento horizontal hacia la izquierda).
• Función Cuadrática: f(x) = ax² + bx + c. El vértice se calcula como Xv = -b / (2 · a).
• Proporcionalidad Inversa: f(x) = k / x. Pasa por (1, k) y (-1, -k); los ejes son asíntotas. Ejemplo: (3x – 2) / (x + 4).
• Función Exponencial: f(x) = a^x. Pasa por (0, 1) y (1, a); el eje X es una asíntota horizontal.
• Función Logarítmica: f(x) = log_a x. Pasa por (1, 0) y (a, 1); el eje Y es una asíntota vertical.
• Valor Absoluto: Se calcula el vértice Xv = -b / (2 · a) y se analizan puntos a la izquierda y derecha.

3. Límites y Continuidad

Límite cuando x tiende a -∞:

• En polinomios: se cambia el signo y se eleva según el grado.
• En fracciones:
  • Si el mayor exponente está abajo, el límite es 0.
  • Si los exponentes son iguales, el límite es el cociente de los coeficientes principales.
  • Si el mayor exponente está arriba, el límite es ±∞ (aplicar regla de signos).

3.1. Tipos de Discontinuidad

• Evitable: Los límites laterales coinciden entre ellos, pero no con el valor de la función en ese punto.
• Asintótica: Si los límites son infinitos con el mismo signo.
• De primera especie: Si los límites laterales son distintos pero son números finitos (salto finito).
• De primera especie de salto infinito: Si uno de los límites laterales es infinito.
• De segunda especie: Si uno de los límites laterales no existe.

Apéndice: Referencia Adicional (Bloque de Repetición 1)

DOMINIO: polinomio D(f): ℝ; fracciones algebraicas D(f): ℝ – {ceros del denominador}; raíz de índice par D(f): lo de dentro ≥ 0; raíz de índice impar: como si no estuviera la raíz; logaritmo (lo de dentro) > 0; fracción con raíz abajo: lo de abajo > 0; fracción con raíz arriba: arriba lo de dentro ≥ 0 y abajo denominador ≠ 0.

FUNCIONES: f(x)+a (sube); f(x+a) (izquierda); CUADRÁTICA f(x)=ax²+bx+c (Xv=-b/2a); PROP. INVERSA f(x)=k/x; EXPO f(x)=a^x; LOG f(x)=log_ax; VALOR ABSOLUTO (Xv=-b/2a).

LÍMITES: x tiende a -∞ (polinomio: cambio signo; fracción: comparar exponentes); Discontinuidades: evitable, asintótica, primera especie, salto infinito, segunda especie.

Apéndice: Referencia Adicional (Bloque de Repetición 2)

DOMINIO: polinomio D(f): ℝ; fracciones algebraicas D(f): ℝ – {ceros del denominador}; raíz de índice par D(f): lo de dentro ≥ 0; raíz de índice impar: como si no estuviera la raíz; logaritmo (lo de dentro) > 0; fracción con raíz abajo: lo de abajo > 0; fracción con raíz arriba: arriba lo de dentro ≥ 0 y abajo denominador ≠ 0.

FUNCIONES: f(x)+a (sube); f(x+a) (izquierda); CUADRÁTICA f(x)=ax²+bx+c (Xv=-b/2a); PROP. INVERSA f(x)=k/x; EXPO f(x)=a^x; LOG f(x)=log_ax; VALOR ABSOLUTO (Xv=-b/2a).

LÍMITES: x tiende a -∞ (polinomio: cambio signo; fracción: comparar exponentes); Discontinuidades: evitable, asintótica, primera especie, salto infinito, segunda especie.