Significado geométrico de las matrices homogéneas

Una matriz homogénea sirve para transformar un vector expresado en coordenadas homogéneas con respecto a un sistema OUVW a su expresión en las coordenadas del sistema de referencia OXYZ. También se puede utilizar para rotar y girar un vector referido a un sistema de referencia fijo. En general, sirve para expresar la orientación y posición de un sistema de referencia OUVW con respecto a otro fijo OXYZ.

La matriz T de transformación se suele escribir de la forma: (matriz 4×4 que combina rotación y traslación). Donde n, o, a es una terna ortonormal que representa la orientación y p es un vector que representa la posición. La matriz inversa de la matriz homogénea de transformación T es fácilmente obtenible y corresponde a la siguiente expresión:

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Composición de matrices homogéneas

Como se ha mencionado, una matriz de transformación homogénea sirve, entre otras cosas, para representar los giros y las traslaciones realizados sobre un sistema de referencia. Esta utilidad cobra aún más importancia cuando se componen matrices homogéneas para describir diversos giros y traslaciones consecutivos sobre un mismo sistema de referencia.

De esta forma, una transformación compleja puede descomponerse en la aplicación consecutiva de transformaciones simples (giros básicos y traslaciones).

Se debe tener en cuenta:

  • Si el sistema fijo OXYZ y el sistema transformado OUVW son coincidentes, la matriz homogénea de transformación será la matriz 4×4 identidad (I4).
  • Si el sistema OUVW se obtiene mediante rotaciones y traslaciones definidas con respecto al sistema fijo OXYZ, la matriz homogénea que representa cada transformación se deberá premultiplicar sobre las matrices de transformación previas.
  • Si el sistema OUVW se obtiene mediante rotaciones y traslaciones definidas con respecto al sistema móvil, la matriz homogénea que representa cada transformación se deberá postmultiplicar sobre las matrices de transformación previas.

Gráficos de transformación

El final de la herramienta puede ser referido con respecto al sistema OXYZ de dos maneras distintas: a través del manipulador y a través del objeto. Esta relación se puede representar mediante un gráfico de transformación. Cualquier transformación puede obtenerse a partir del gráfico.

Para ello se recorre desde el objeto inicial al final multiplicando las matrices de transformación correspondientes a los arcos del gráfico; si se recorren estos en sentido inverso a las flechas, deberá utilizarse la matriz inversa de cada arco.

Interpolación de trayectorias

Una de las funciones del control cinemático es la de unir una sucesión de puntos en el espacio articular por los que se quiere que pasen las articulaciones del robot en un instante determinado. Además, junto con las condiciones de posición-tiempo, es conveniente añadir restricciones en la velocidad y aceleración de paso por los puntos, de manera que se asegure la suavidad de la trayectoria y se limiten las velocidades y aceleraciones máximas. Estas restricciones garantizarán que los actuadores están capacitados para implementar la trayectoria final.

Interpoladores lineales

Supóngase que se pretende que una de las articulaciones q del robot pase sucesivamente por los valores qi en los instantes ti. Una primera solución consistiría en mantener constante la velocidad de movimiento entre cada dos valores consecutivos (qi-1 y qi) de la articulación. La trayectoria entre dos puntos qi-1 y qi sería entonces:

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Como es obvio, esta trayectoria asegura la continuidad de la posición, pero origina saltos bruscos en la velocidad q˙ de la articulación y, consecuentemente, precisa de aceleraciones de valor infinito, lo que en la práctica no es posible.

Interpoladores cúbicos

Para asegurar que la trayectoria que une los puntos por los que tiene que pasar la articulación considerada presente continuidad en la velocidad, puede recurrirse a utilizar un polinomio de grado 3 que una cada pareja de puntos adyacentes. De este modo, al tener cuatro parámetros disponibles se podrán imponer cuatro condiciones de contorno: dos de posición y dos de velocidad.

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Interpoladores a tramos

Consiste en descomponer en tres tramos consecutivos la trayectoria que une dos puntos q0 y q1. En el tramo central se utiliza un interpolador lineal y, por lo tanto, la velocidad se mantiene constante, no siendo preciso imprimir aceleración alguna al actuador.

En los tramos inicial y final se utiliza un polinomio de segundo grado, de modo que:

  • En el tramo 1 la velocidad varía linealmente desde la velocidad de la trayectoria anterior hasta la de la presente.
  • En el tramo 3 la velocidad varía desde la velocidad de la trayectoria presente hasta la de la siguiente.

Se tiene entonces que en los tramos inicial y final la aceleración toma valores constantes distintos de cero, mientras que en el tramo intermedio la aceleración es nula.