Ejercicio 1.1 Calcula: a) Los 100 primeros números decimales del número $e$, b) El logaritmo en base 3 de 16423203268260658146231467800709255289, c) El arcoseno de $\sqrt{2}/2$, d) aproximaciones del seno y el coseno de $\pi/5$ en forma decimal, y e) el logaritmo natural de −2. Respuesta:

a=e.N(digits=100)
b=log(16423203268260658146231467800709255289, base=3)
c=acos((sqrt(2)/2))
dsin=sin(pi/5)
dcos=cos(pi/5)
e=ln(-2)

show(«a) «, a)
show(«b) «, b)
show(«c) «, c)
show(«d) «, dsin.Numerical_approx())
show(«d) «, dcos.Numerical_approx())
show(«e) «, e)

Ejercicio 1.2. Descompón la fracción $$ \frac{x^2−4}{x^5+x^4−2x^3−2x^2+x+1}$$ Respuesta:


b=(x^2-4)/(x^5+x^4-2*x^3-2*x^2+x+1)
show(b.Partial_fraction(x))

Ejercicio 1.3. Escribe $\sin (5x) \cos(3x)$ en función de $\sin (x)$ y $\cos (x)$. Respuesta:


x=var(‘x’)

expr=sin(5*x)*cos(3*x)
expr_x=expr.Trig_expand()

show(expr_x)

Ejercicio 1.4 Dos funciones $f(x)$ y $g(x)$ son inversas cuando se cumple que $(f\circ g)(x)=f(g(x))=x$ ó $(g\circ f)(x)=g(f(x))=x$. Comprueba si las funciones trigonométricas básicas y las correspondientes «arco»-versiones son inversas. Respuesta:

x=var(‘x’)

show(sin(asín(x)))
show(asín(sin(x)))

show(cos(acos(x)))
show(acos(cos(x)))

show(tan(atan(x)))
show(atan(tan(x)))

Ejercicio 2.1


Efectuar las operaciones indicadas y mostrar el resultado en forma binómica:

Respuesta:

fraccion_a=((2*i-1)^2)*((4/1-i)+(2-1/1+i))
fraccion_b=((i^3+i^9+i^16)/(2-i^5+i^10-i^15))
show(fraccion_a)
show(fraccion_b)


**Ejercicio 2.2.** Si $z_1=1−i$, $z_2=−2+4i$, y $z_3=\sqrt{3}−2i$, expresar el resultado de las siguientes expresiones en forma binómica: **a.** $\,\,|2z_2-3z_1|^2$. **b.** $\,\, (z_3-\bar{z}_3)^5$ **c.** $\,\,|z_1\bar{z}_2+\bar{z}_1z_2|$ Respuesta: 

z_1=1-i
z_2=-2+4*i
z_3=sqrt(3)-2*i

funcion_a=(2*z_2-3*z_1).Abs()^2
show(funcion_a)

funcion_b=(z_3-z_3.Conjugate())^5
show(funcion_b)

funcion_c=(z_1*z_2.Conjugate()+z_1.Conjugate()*z_2).Abs()
show(funcion_c)


**Ejercicio 2.3.** Calcular el módulo y el argumento de los siguientes  números complejos **a.** $\,1$ **b.** $\,-i$ **c.** $\,\frac{\sqrt{2}}{2}+i \frac{\sqrt{2}}{2}$ Respuesta:

expr_a=CC(1)
expr_b=CC(-i)
expr_c=CC((sqrt(2)/2)+(i*(sqrt(2)/2)))

show(expr_a.Abs())
show(expr_a.Argument())
show(expr_b.Abs())
show(expr_b.Argument())
show(expr_c.Abs())
show(expr_c.Argument())

Ejercicio 2.4. Determinar las raíces del polinomio  y sus correspondientes multiplicidades. Respuesta: 

polinomio=x^7-3*x^6-x^5+11^4-8*x^3-8*x^2+12*x-4
solve(polinomio, x, to_poly_solve=True)


**Ejercicio 2.5.** Encontrar las raíces quintas del número complejo $w=32(\cos(\pi/3)+i\sin(\pi/3))$ y representarlas en el plano complejo. Respuesta:

w=CC(2^5*(cos(pi/3)+i*sin(pi/3)))
solve(z^5==numero_complejo, z, to_poly_solve=True)
plot((z^5, w), aspect_ratio=1)


**Ejercicio 4.1.** Calcular $$ \lim_{h\to 0} \frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}$$. Respuesta:

[Línea 1] f(x, h)=(sqrt(x+h)-sqrt(x))/h [Línea 2] show(limit(f, h=0))


**Ejercicio 4.2.** Una ventana tiene forma de rectángulo, con un semicírculo en la parte superior. Sabiendo que el perímetro de la ventana es de 4 m, hallar las dimensiones de la ventana de mayor superficie. Respuesta:

areaSemicirculo(x) = (pi/2)*(x/2)^2
perímetro(x, y)= 2*y + x + (pi/2) * x == 4

solucionY(x)=solve(perímetro, y)
funcionY(x)=solucionY[0].Rhs()

areaTotal(x) = x * funcionY + areaSemicirculo(x)
show(«El área total de la ventana viene dado por la función: «, areaTotal(x))

d1area=diff(areaTotal, x)
ptosCriticos=solve(d1area == 0, x)

d2area=diff(d1area, x)

show(«Los puntos críticos «,ptosCriticos)

grafica=plot(areaTotal, (x, -8, 10), color=»green»)
grafica1d=plot(d1area, (x,-8, 10), color=»red»)
grafica2d=plot(d2area, (x, -8, 10), color=»blue»)
show(grafica1d+grafica2d+grafica)

xOptimo = ptosCriticos[0]
yOptimo = funcionY(xOptimo.Rhs())

show(«Las dimensiones de la ventana son:»)
pretty_print(«Para el ancho: «), pretty_print(xOptimo.Rhs())
show(«Para el alto: «), pretty_print(yOptimo);


**Ejercicio 4.3.** Una empresa fabrica un artículo que vende a 400 euros la unidad. El coste total para colocar en el mercado $x$ unidades de dicho artículo viene dado por la función $f(x)=0.02x^2−160x+400$. ¿Cuántos artículos sería preciso vender para obtener un beneficio máximo? Respuesta:

def beneficio(x):
    ingresos = 400 * x
    coste = (1/50) * x^2 – 160 * x + 400
    return ingresos – coste

show(beneficio(x))

derivada1(x) = diff(beneficio(x), x)

derivada2(x) = diff(derivada1(x), x)

ptosf = solve(derivada1(x), x)
show(«Puntos críticos de beneficio: «, ptosf)

grafica = plot(beneficio, (x, 0, 28000))

show(«Gráfica de la función de beneficio: «)
show(grafica)


**Ejercicio 4.4.** Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $f(x)=x^3−\frac´{3}{2}x^2$ en $\mathbb R$. Respuesta:

f(x)=x^3-(2/3)*x^2
grafica=plot(f, (x, -1000, 1000))
show(grafica)
d1f(x)=diff(f(x),x)
ptosf=solve(d1f(x),x)
show(ptosf)
d2f(x)=diff(d1f(x),x)
show(d2f(ptosf[0]))
show(d2f(ptosf[1]))



**Ejercicio 4.5.** Consideremos la función $f(x)=cosx$. Crear una animación con el comando interact que cree un control deslizante para seleccionar un grado entre 2 y 10. Entonces para el grado seleccionado muestre las expresiones matemáticas de la función y el correspondiente polinomio de Maclaurin, además de sus representaciones gráficas en el intervalo $(0,\pi)$ en una misma figura simultáneamente. Respuesta:

var(‘x’)
x0 = 0
f = cos(x)
p = plot(f, (x,0,pi), thickness=2)
dot = point((x0,f(x=x0)),pointsize=80,rgbcolor=(1,0,0))

@interact
def _(grado=(2..10)):
  ft = f.Taylor(x,x0,grado)
  pt = plot(ft,(x,0,pi), color=’green’, thickness=2)
  html(‘$f(x)\;=\;%s$’%látex(f))
  html(‘$p_{%s}(x;f,%s)\;=\;%s$’%(grado,x0,látex(ft)))
  show(p+pt)

  show(«Polinomio de Maclaurin de grado {}:».Format(grado), ft)


**Ejercicio 3.1.-** Calcular el área entre la función $f(x)=2x^3+x^2−2x−1$ y el eje $X$. Respuesta:

f(x)=2*x^3+x^2-2*x-1
g(x)=0

graficaF=plot(f, [x,-100,100])
show(graficaF)

show(«Los puntos de corte son: «)
show(solve(f==g, x))

integral1=f(x).Integrate(x, -1, -1/2)
integral2=f(x).Integrate(x, -1/2, 1)

resultado=integral1+abs(integral2)
show(«El área resultante es: {}».Format(resultado))


– a. El área limitada por $y=xe^{−x^2}$, el eje $X$, la ordenada en el punto $x=0$ y la ordenada en el máximo,


– b. El área de la figura limitada por la curva $y=x^3−x^2$ y el eje $X$

show(«a)»)
y(x)=x*e^-x^2
g(x)=0
grafica=plot(y, (x,-4,4))
show(grafica)

d1y(x)=diff(y,x)
ecu=d1y(x)==0
puntosy=solve(d1y(x),x)

show(«Puntos críticos de la función: «)
show(puntosy)

integral1=y(x).Integrate(x, puntosy[0].Rhs(), 0)
integral2=y(x).Integrate(x, 0, puntosy[1].Rhs())

resultado=integral1+abs(integral2)

show(«El área resultante es:»)
show(resultado)

show(«b)»)
y(x)=x^3-x^2
g(x)=0

grafica=plot(y, (x, -10,10))
show(grafica)

show(solve(y(x),x))

resultado=y(x).Integrate(x, 0, 1)
show(«El área resultante es: «)
show(abs(resultado))


**Ejercicio 3.3.-** Dibujar la curva $f(x)=\frac{1}{12}x^3+x^{−1}$ entre los puntos $(1,f(1))$ y $(3,f(3))$ y calcular su longitud.

f(x)=(1/12)*x^3+x^-1

show(«Gráfica de la función {} desde el punto 1 al 3 en el eje X».Format(f))
grafica=plot(f, (x, 1,3),color=»red»)
show(grafica)

d1f(x)=diff(f(x),x)

resultado=d1f(x).Integrate(x, 1, 3)
show(«La longitud de la curva es de: {}».Format(resultado))


**Ejercicio 3.4.-** Calcular el área de la superficie de una esfera de radio $R>0$ (la esfera es una superficie de revolución).

var(‘x R z’)
assume(R > 0)

y(R,x)=sqrt(R^2-x^2)

d1y(x)=diff(y(R,x),x)

d1y_sqrt=sqrt(1+d1y^2)
d1y_integral= integral(y*d1y_sqrt,x, -R, R)

areaEsfera(Área)= 2* pi * d1y_integral
show(«La área de la esfera será: «)
show(areaEsfera)