Principios Fundamentales de la Dinámica de Sistemas: Lagrangianos, D’Alembert y Vibraciones

Lagrangiana e Integrales Primeras

Consideramos la función Lagrangiana del sistema, definida como la diferencia entre las energías cinética y potencial, L = T − V, y expresada como función de coordenadas, velocidades y tiempo: L(q_i, ẋ_i, t). Podrán existir también fuerzas generalizadas que no provengan de un potencial o no conservativas, Q_j^nc.

Pueden existir dos tipos de integrales primeras:

• Coordenadas Cíclicas

  Si la Lagrangiana no depende explícitamente de alguna coordenada generalizada (q_j) y no existen fuerzas no conservativas asociadas a ella, el momento generalizado correspondiente se conserva:

  ∂L/∂q_j = 0 y Q_j^nc = 0 ⇒ p_j = ∂L/∂ẋ_j = cte.

  Esto implica la conservación de la cantidad de movimiento para una coordenada lineal y la conservación del momento cinético para una coordenada angular.

• Integral de Jacobi

  La Lagrangiana no depende explícitamente del tiempo y no existen fuerzas no conservativas (NC). La integral de Jacobi se conserva si:

  ∂L/∂t = 0 y Q_j^nc = 0 ∀ j ⇒ h = Σ_j ∂L/∂ẋ_j ẋ_j − L = cte.

  La integral h coincide con la energía total E = T + V si no existen coordenadas móviles (∂r_i/∂t = 0), o de forma equivalente, si T es una expresión cuadrática homogénea de las velocidades generalizadas ẋ_j. En este caso, la integral primera puede interpretarse como la conservación de la energía mecánica.

  Ejemplo: Masa con Muelle y Movimiento Impuesto

  L = ½ m(ṙ² + ω₀² r²) − ½ k r²

  h = ∂L/∂ṙ · ṙ − L = ½ m(ṙ² − ω₀² r²) + ½ k r² = cte

  En este caso, la energía cinética no es de segundo grado.

Principio del Trabajo Virtual (PTV)

El trabajo virtual (δW) realizado por las fuerzas F_i para cualquier conjunto de desplazamientos virtuales {δr_i} se define como:

δW = Σ F_i · δr_i

Las fuerzas pueden descomponerse en activas (f_i) y reactivas (R_i). En un sistema con enlaces lisos, donde los desplazamientos virtuales son compatibles con las restricciones, el trabajo virtual de las fuerzas reactivas es nulo. Así, el trabajo virtual total se reduce a:

δW = Σ F_i · δr_i = Σ f_i · δr_i + Σ R_i · δr_i = Σ f_i · δr_i, para {δr_i} compatibles.

Definición del PTV

“En un sistema material sometido a enlaces lisos, es condición necesaria y suficiente para el equilibrio que el trabajo de las fuerzas aplicadas sea nulo para cualquier conjunto de desplazamientos virtuales compatibles con los enlaces”:

δW = Σ f_i · δr_i = 0, para {δr_i}_comp.

Ejemplo: Varillas con Muelle Intermedio

Haciendo uso de la simetría, el trabajo virtual (TV) es:

δW = − (P/2) ĵ · δr_A − m g ĵ · δr_C + k l sen θ î · δr_B

= − (P/2) δy_A − m g δy_C − k l sen θ δx_B

Donde:

• y_A = l cos θ ⇒ δy_A = − l sen θ δθ
• x_B = l sen θ ⇒ δx_B = l cos θ δθ
• y_C = (l/2) cos θ ⇒ δy_C = − (l/2) sen θ δθ

Sustituyendo, obtenemos:

δW = ( (P l/2) sen θ + (m g l/2) sen θ − k l² sen θ cos θ ) δθ = Q_θ δθ

Por lo que la fuerza generalizada asociada a la coordenada θ resulta finalmente:

Q_θ = P l sen θ + m g l sen θ − 2 k l² sen θ cos θ

Coordenadas Generalizadas

Conjunto mínimo de n variables escalares independientes (q₁, q₂, …, q_n) que basta para describir completamente la configuración de un sistema con n grados de libertad, teniendo en cuenta todas sus restricciones. Cada punto material puede expresarse mediante funciones r_i = r_i(q₁, …, q_n, t). Así, conocer los valores de las q_j en un instante equivale a fijar la posición de todas las partículas.

Las coordenadas generalizadas se eligen “a la medida” del problema: pueden ser distancias, ángulos, coordenadas cartesianas, polares o cualquier otra magnitud conveniente, siempre que permanezcan independientes entre sí. Su principal utilidad reside en que, al incorporar las condiciones de enlace desde el inicio, reducen el número de variables a las estrictamente necesarias y permiten formular la dinámica mediante las ecuaciones de Lagrange sin recurrir a multiplicadores de restricción, mostrando con claridad simetrías y cantidades conservadas.

Fuerzas Generalizadas (Q_j)

Las fuerzas generalizadas Q_j se definen a partir del trabajo virtual. En un instante t, los desplazamientos virtuales arbitrarios δr_i, compatibles con los enlaces, pueden expresarse en función de las coordenadas generalizadas como:

δr_i = Σ_j (∂r_i/∂q_j) δq_j

El trabajo virtual (δW) se expresa como:

δW = Σ_i f_i · δr_i

= Σ_i f_i · Σ_j (∂r_i/∂q_j) δq_j

= Σ_j (Σ_i f_i · ∂r_i/∂q_j) δq_j

Los coeficientes entre paréntesis son las fuerzas generalizadas Q_j, que permiten identificarlas como los coeficientes de δq_j en la expresión del trabajo virtual:

Q_j = Σ_i f_i · ∂r_i/∂q_j

Por lo tanto, δW = Σ_i f_i · δr_i = Σ_j Q_j δq_j.

Si las fuerzas proceden de un potencial (f_i = −∂V/∂r_i), las fuerzas generalizadas pueden obtenerse como:

Q_j = Σ_i f_i · ∂r_i/∂q_j = − Σ_i (∂V/∂r_i) · (∂r_i/∂q_j) = −∂V/∂q_j

Ejemplo: Dos Masas con Varilla

f = F î − m₂ g k̂

δr = (δx + ℓ δθ cos θ) î + (ℓ δθ sin θ) k̂

δW = F(δx + ℓ δθ cos θ) − m₂ g (ℓ δθ sin θ)

De aquí se obtienen las fuerzas generalizadas:

Q_x = F

Q_θ = F ℓ cos θ − m₂ g ℓ sin θ

Principio de D’Alembert

En un sistema con enlaces lisos, la evolución dinámica está determinada (como condición necesaria y suficiente) por la anulación, en todo instante, del trabajo de las fuerzas aplicadas y de las fuerzas de inercia para cualquier conjunto de desplazamientos virtuales compatibles con los enlaces:

Σ_i f_i · δr_i − Σ_i m_i r̈_i · δr_i = 0, para todo {δr_i} compatible.

Ejemplo 1

Para el sistema de la figura, existen dos coordenadas generalizadas: x y θ. Las fuerzas activas y los desplazamientos virtuales compatibles son:

• f₁ = −k x î
• δr₁ = δx î
• f₂ = −m g ĵ
• δr₂ = δx î + L δθ t̂

La aceleración de la masa m es: r̈₂ = ẍ î + L θ̇² n̂ + L θ̈ t̂

Con n̂ · î = −sen θ, t̂ · î = cos θ, t̂ · ĵ = sen θ, el Principio de D’Alembert proporciona:

[ −k x − m ( ẍ − L θ̇² sen θ + L θ̈ cos θ ) ] δx + [ − m g L sen θ − m ( ẍ L cos θ + L² θ̈ ) ] δθ = 0, para todo δx, δθ.

Puesto que δx y δθ son arbitrarios, se obtienen las dos ecuaciones diferenciales independientes:

− k x − m( ẍ − L θ̇² sen θ + L θ̈ cos θ ) = 0

− m g L sen θ − m ( ẍ L cos θ + L² θ̈ ) = 0

Ejemplo 2

Una partícula pesada se mueve, con ligadura bilateral lisa, en la curva definida por:

• x = a cos u
• y = b sen u
• z = c u

1. Desplazamientos virtuales: δr = ( −a sen u î + b cos u ĵ + c k̂ ) δu
2. La única fuerza activa es el peso: f = − m g k̂
3. La expresión de las fuerzas de inercia se obtiene a partir de la aceleración de la partícula r̈:

F_i = − m r̈ = m [ a( ü sen u + u̇² cos u ) î − b( ü cos u − u̇² sen u ) ĵ − c ü k̂ ]

Sustituyendo y simplificando, se obtiene:

−m [ a²( ü sen u + u̇² cos u ) sen u + b²( ü cos u − u̇² sen u ) cos u + c² ü + c g ] δu = 0

Eliminando δu por ser arbitrario, se obtiene la ecuación diferencial del movimiento:

ü ( a² sen² u + b² cos² u + c² ) + u̇² sen u cos u ( a² − b² ) + g c = 0

Enlaces Holónomos y Anholónomos

Los enlaces (mecanismos que restringen el movimiento de un sistema) se clasifican en holónomos y anholónomos.

Los enlaces son holónomos cuando es posible expresar la condición de ligadura mediante una relación entre las posiciones de las partículas (o bien las coordenadas generalizadas) y el tiempo exclusivamente:

Φ(r₁, r₂, …, r_N, t) = 0, o bien Φ̂ (q₁, q₂, …, q_n, t) = 0.

Los enlaces anholónomos son, en general, aquellos que no son holónomos. El caso más usual es aquel que depende también de las velocidades, mediante relaciones del tipo:

Φ(r_i, ṙ_i, t) = 0 (i = 1,…,N), o bien Φ̂(q_j, q̇_j, t) = 0 (j = 1,…,n).

Aplicación

La velocidad del punto A en términos de x, θ y sus derivadas es:

v_A = v_B + θ̇ k̂ ∧ BA = (ẋ − Lθ̇ cosθ) î − Lθ̇ senθ ĵ, siendo î y ĵ los versores de los ejes OXY de la figura.

Esta velocidad debe ser normal al vector n = cos(θ + α) î + sen(θ + α) ĵ. Desarrollando el producto escalar, se obtiene la condición de ligadura:

0 = v_A · n = ẋ cos(θ + α) − Lθ̇ cos α

En principio, pudiera parecer que la ecuación resultante define un enlace anholónomo, ya que está formulada en función de las velocidades. Sin embargo, admite una integral directa:

x = L cos α ∫ ( θ̇ / cos(θ+α) ) dt = L cos α ln[ sec(θ+α) + tg(θ+α) ] + C

Esta es la ecuación de ligadura y corresponde a un enlace holónomo.

Coordenadas Normales

Denominando {a_k} los modos normales de vibración y ω_k las frecuencias propias asociadas, la solución general a las vibraciones libres del sistema es, para el vector de coordenadas generalizadas {q} = {q_i}:

{q(t)} = Σ_k B_k cos(ω_k t − δ_k) {a_k} ≡ Σ_k u_k(t) {a_k}

Esto permite identificar las coordenadas normales u_k(t) = B_k cos(ω_k t − δ_k) como las amplitudes en función del tiempo de la respuesta para cada modo de vibración.

Igualmente, la expresión permite definir estas coordenadas mediante su relación con las coordenadas generalizadas iniciales:

q_i(t) = Σ_k u_k(t) a_ki

Esto implica la relación matricial: {q} = [A]^T {u}

De donde se obtienen las coordenadas normales: {u} = [A]^-T {q}

Donde [A] = [a_ki] es la matriz modal, cuyas filas son los modos de vibración {a_k}.

Dinámica de la Peonza: Conservación y Momentos Principales de Inercia

Se analiza un sólido rígido simétrico (una peonza) apoyado en un punto fijo de su eje de simetría y sometido a un campo gravitatorio constante. Se supone una velocidad de rotación propia elevada alrededor del eje, un modelo análogo a los giróscopos empleados en navegación inercial y orientación de telescopios. El estudio revela los efectos giroscópicos que aparecen cuando el eje de la peonza precesa bajo su propio peso.

La dinámica se describe en ejes fijos al cuerpo, tomando el eje k̂ como el de revolución. En esos ejes, el tensor de inercia es diagonal: [I_o] = diag(A, A, C).

La energía cinética (T) es: T = ½ Ω · I_o · Ω = ½ A(p² + q²) + ½ C r².

Desarrollando la expresión en función de los ángulos de Euler, se obtiene: T = ½ A(θ̇² + ψ̇² sen² θ) + ½ C(φ̇ + ψ̇ cos θ)².

A su vez, el potencial (V) es: V = M g d cos θ, donde d es la distancia entre el punto fijo y el centro de masas.

La Lagrangiana (L) resulta entonces: L = ½ A(θ̇² + ψ̇² sen²θ) + ½ C(φ̇ + ψ̇ cosθ)² − Mgd cos θ.

La Lagrangiana L no depende explícitamente de ψ (∂L/∂ψ = 0) ni de φ (∂L/∂φ = 0); ambas coordenadas son cíclicas. Podemos escribir las correspondientes integrales primeras (momentos generalizados conservados) como:

p_ψ = A ψ̇ sen² θ + C ψ̇ cos² θ + C φ̇ cos θ = H (cte)

p_φ = C(φ̇ + ψ̇ cos θ) = C r (cte)

Integrales Primeras

1. Momento Cinético Conservado según el Eje Vertical (K̂)

H_o · K̂ = (A p î + A q ĵ + C r k̂) · (sen θ sen φ î + sen θ cos φ ĵ + cos θ k̂)

= A ψ̇ sen² θ + C r cos θ

= A ψ̇ sen² θ + C ψ̇ cos² θ + C φ̇ cos θ ≡ H (constante)

Esta magnitud H se conserva puesto que el momento de las fuerzas externas en esta dirección fija es nulo: M_z = M_o · K̂ = [d k̂ ∧ (−M g K̂)] · K̂ = 0.

2. Componente de la Velocidad de Rotación (r) Conservada

La componente de la velocidad de rotación Ω según el eje k̂ del cuerpo (r) es constante. Esto establece la conservación del momento cinético según este eje:

H_o · k̂ = (A p î + A q ĵ + C r k̂) · k̂ = C r (constante)

Aunque el eje k̂ es móvil, la conservación se justifica porque: d/dt (H_o · k̂) = (dH_o/dt) · k̂ + H_o · dk̂/dt = M_o · k̂ + H_o · (Ω ∧ k̂) = (A − B) ṗ q̇. Este término es nulo porque el sólido es de revolución (A = B).

3. Conservación de la Energía Mecánica

Al no existir fuerzas disipativas, la energía mecánica total se conserva: T + V = E (constante).

Equilibrio de Cables

Consideramos el equilibrio de una rebanada infinitesimal de cable de longitud ds, sujeta a una carga F ds, donde la tensión en sus extremos es −T y T + dT, respectivamente:

−T + F ds + T + dT = 0 ⇒ dT + F ds = 0

Esta ecuación se puede expresar como: dT/ds + F = 0.

De la ecuación de equilibrio de momentos se deduce que dr ∧ T = 0, por lo que la tensión tiene la dirección del vector tangente en la curva de equilibrio del hilo: T = T t̂, siendo t̂ el vector tangente unitario (t̂ = dr/ds).

La ecuación de equilibrio en coordenadas cartesianas resulta:

• d/ds ( T dx/ds ) + F_x = 0
• d/ds ( T dy/ds ) + F_y = 0
• d/ds ( T dz/ds ) + F_z = 0

En un sistema de coordenadas intrínsecas, la ecuación de equilibrio es:

d/ds (T t̂) = dT/ds t̂ + T dt̂/ds = dT/ds t̂ + T n̂/R

Las componentes de la ecuación de equilibrio en un sistema de coordenadas intrínsecas resultan finalmente:

• dT/ds + F_t = 0
• T / R + F_n = 0

Finalmente, si la carga es puramente normal y constante (F = −p n̂), se deduce que la tensión es constante (dT/ds = 0 ⇒ T = T₀) y, por ende, el radio de curvatura también (R = T₀/p). En este caso, la curva de equilibrio es una circunferencia.

Ejemplo: Hilo Sometido a su Peso y Cargas Conservativas

Para fuerzas conservativas (q = −dV/dr), multiplicando escalarmente la ecuación del cable por dr:

dT/ds · dr + q · dr = 0

⇒ dT · t̂ − dV/dr · dr = 0

⇒ d(T − V) = 0

⇒ T = V + c

Sabiendo que t̂ = dr/ds es la tangente unitaria, T = T t̂, y c es una constante.

Particularizando para el caso de un hilo de sección constante sometido a su propio peso (q = −ρ k̂):

V = q z + c’

⇒ T = q z + c’

Por simetría, el origen de abscisas es el punto de tangente horizontal con T = T₀. Se define a = T₀/q, y se adopta dicho valor como ordenada en el origen (z = a), comprobándose que la constante c’ es cero.

Por tanto, para un punto de coordenadas (x, z):

• La tensión horizontal (T_h) es T_h = T₀ = q a y es constante a lo largo de todo el hilo al no existir cargas horizontales.
• La tensión vertical (T_v) es T_v = q s, siendo s la longitud del hilo desde el punto más bajo con tangente horizontal.
• La tensión total (T) es: T² = T_h² + T_v² ⇒ q² z² = q² a² + q² s² ⇒ z² = a² + s².