Conceptos Fundamentales en Geoestadística

Propósito de conceptualizar una Función Aleatoria (FA)

Modelar la incertidumbre asociada a un valor z, que no fue muestreado, a través de la distribución de probabilidad de una variable aleatoria. Lo anterior se basa en el supuesto de que un elemento “u” que se encuentra dentro de un área “A”, está dentro de la distribución de variables “Z”, es decir, pertenecen a la misma población estadística.

Paradigma subyacente de la inferencia estadística

Es transar la replicación no disponible en la ubicación “u” por otra replicación disponible en algún otro lugar en espacio y/o tiempo. Dicho de otra forma, es obtener el valor estimado de un punto por medio de puntos cercanos a este o pertenecientes al mismo dominio (replicar el valor de acuerdo a los puntos colindantes).

Estacionariedad como propiedad de la FA

La estacionariedad es una propiedad clave de la Función Aleatoria.

Efecto Pepita y su relación con la geología a nivel infinitesimal

Es el valor del variograma a una distancia no mayor que el tamaño de muestra, el cual caracteriza la variabilidad a “muy corta distancia” o “variabilidad en el origen” o “en sí misma”.

Razones por las que se genera:

  • Variables muy irregulares a cortas distancias.
  • Errores de medición en las variables.
  • Presencia de estructuras.
  • Ausencia de valores en distancias inferiores a las que se tomaron las muestras.

NOTA: Método para determinar el Efecto Pepita – Down The Hole.

Estacionariedad de segundo orden: ¿Pasa a ser irrelevante en la práctica?

Porque tanto el momento de primer y segundo orden se consideran como invariantes en el tiempo. Además, los yacimientos, debido a su origen natural, no siguen un orden concreto, por lo que no son estacionarios.

Proceso de Estimación

Objetivo Principal del Proceso de Estimación

Predecir producciones futuras (TON/LEY) ± error.

  • En escenarios provisionales, agregar información con precisiones globales, previo a la toma de decisiones.
  • En escenarios finales, se deben tener aproximaciones más locales debido a la baja flexibilidad en los últimos desarrollos de faenas.

Propósito del Proceso de Estimación

Es estimar el valor en una ubicación no muestreada perteneciente a un dominio, utilizando la función aleatoria que rige dicho dominio, de la cual se infiere la función de distribución de probabilidad y variabilidad espacial para así asignarle un valor a la variable desconocida.

Factor de Reducción de Varianza

La varianza decrece conforme el volumen se incrementa, debido a que se van promediando valores altos y bajos. La reducción de la varianza se mide acorde a la dispersión en el bloque versus la dispersión de la varianza en el punto.

Ponderador con ID (Inverso a la Distancia)

Fórmula del ponderador del método inverso a la distancia: wi = 1 / (c + di^w)

Atribuye a cada dato una ponderación proporcional al inverso de su distancia al sitio a estimar.

Para determinar el ponderador, se emplea la distancia desde el punto que se desea estimar a las muestras que se tienen. Cada peso incrementará o disminuirá dependiendo de la distancia y se ajustará con la constante C para que la suma de todos los pesos sea equivalente a 1.

Métodos de Estimación: Kriging

Desventajas del Kriging

  • No entrega una buena medida de la incertidumbre asociada a la estimación.
  • Puede verse influenciado por el sesgo condicional si se tienen pocos datos.
  • Suavizamiento: la dispersión de los valores estimados es menor que la dispersión de los valores verdaderos, sobre todo en las zonas donde hay pocos datos. En consecuencia, se tiende a subestimar las zonas de altas leyes y sobreestimar las zonas de bajas leyes.

La condición de insesgo del Kriging Simple

Asume un error mínimo y es insesgado porque asume una media estacionaria conocida.

NOTA: No se usa en la estimación de recursos minerales ya que asume una media estacionaria, y esto no aplica al comportamiento de los recursos en su depositación.

Kriging Ordinario

Es un estimador con error de varianza mínimo, en cualquier lugar no muestreado donde el valor real es desconocido.

  • La media m es desconocida y no asume nada al respecto.
  • Es insesgado globalmente por definición, ya que limita la suma de los pesos a 1.
  • No necesita conocer la media.
  • Suponemos que la media desconocida, para el volumen que se estima, es constante.

Minimización de la varianza de estimación en Kriging Simple

Derivando la varianza del error de estimación que se encuentra en función de la covarianza, generando así un sistema de n ecuaciones y n ponderadores para obtener los pesos óptimos. El primer término (λi * γ(xi, xj)) mide correlaciones entre datos y el segundo (λi * γ(xi, x0)) mide correlaciones entre datos y el valor a estimar.

El Kriging Ordinario como algoritmo No Estacionario

Corresponde a un modelo de Función Aleatoria con una Media Variable y una Covarianza Estacionaria.