Extremos de Funciones de Varias Variables

Extremos Relativos

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Una función z = f(x, y) tiene un máximo local o relativo en (a, b) si existe una región rectangular abierta R que contiene a (a, b) tal que:

f(x, y) ≤ f(a, b), ∀(x, y) ∈ R.

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Una función z = f(x, y) tiene un mínimo local o relativo en (a, b) si existe una región rectangular abierta R que contiene a (a, b) tal que:

f(x, y) ≥ f(a, b), ∀(x, y) ∈ R.

Extremos Absolutos

La función z = f(x, y) tiene un máximo absoluto en (a, b) si f(x, y) ≤ f(a, b) en todo su dominio.

La función z = f(x, y) tiene un mínimo absoluto en (a, b) si f(x, y) ≥ f(a, b) en todo su dominio.

t6hjNQC1qTe2pSrV7qP8CxY5P8DrjM76M8U6okAAAAASUVORK5CYII=

Extremos Relativos: Teorema

Si z = f(x, y) tiene un extremo relativo en (a, b) y las derivadas parciales de f existen en (a, b), entonces:

fx(a, b) = 0 y fy(a, b) = 0

También puede ocurrir que z = f(x, y) tenga un extremo en (a, b) y allí las derivadas parciales no existan.

Punto Crítico

(a, b) ∈ Df es un punto crítico de z = f(x, y) si:

  • fx(a, b) = 0 y fy(a, b) = 0, o
  • fx(a, b) ∉ ℝ o fy(a, b) ∉ ℝ

Condición Necesaria para la Existencia de Extremo Relativo

Si z = f(x, y) tiene un extremo relativo en (a, b) ⇒ (a, b) es un punto crítico de f(x, y)

Esta condición es necesaria, pero no es suficiente.

Criterio para la Clasificación de Puntos Críticos

Sea z = f(x, y), con derivadas parciales segundas continuas en una región rectangular abierta R que contiene a (a, b), con fx(a, b) = 0 y fy(a, b) = 0.

Definimos la función hessiana como:

g(x, y) = fxx(x, y) ⋅ fyy(x, y) – [fxy(x, y)]2, ∀(x, y) en R.

OJEsBMEQRAEQRAEQfilwf8DiRn9uL5kP0wAAAAASUVORK5CYII=

Extremos Absolutos

La función z = f(x, y) tiene un máximo absoluto en (a, b) si f(x, y) ≤ f(a, b) en todo su dominio.

La función z = f(x, y) tiene un mínimo absoluto en (a, b) si f(x, y) ≥ f(a, b) en todo su dominio.

Teorema de Existencia de Extremos Absolutos

Si z = f(x, y) es una función continua en una región cerrada y acotada R, entonces tiene un máximo absoluto f(a, b) y un mínimo absoluto f(c, d) en puntos (a, b) y (c, d) de R y se cumple:

f(c, d) ≤ f(x, y) ≤ f(a, b); ∀ (x, y) ∈ R

Teorema de Lagrange (Forma de Utilizarlo)

Sean f(x, y) sujeta a la restricción g(x, y) = 0. Sean f(x, y) y g(x, y) funciones con derivadas parciales continuas.

Si f(x, y) tiene un extremo en (x0, y0) y ∇g(x0, y0) ≠ 0 ⇒ ∃λ ∈ ℝ / ∇f(x0, y0) = λ∇g(x0, y0)

Para encontrar candidatos a (x0, y0) se resuelve el sistema de ecuaciones:

nGXidESK0kRIyvDRMeH6a64oor4nWve107pIpjbbFBgwYN5hMz+oTAnoBky6TLa2uDaIt8u9mnbnPNseHWIjuhIcoGDRrsK+x1QuxGgnXgb03QMia70q+OhhAbNGiwr7DPCbG0O5EZfg3JNWjQ4OVHxP8Hin5GXMwd+S0AAAAASUVORK5CYII=

{ fx(x, y) = λgx(x, y)

fy(x, y) = λgy(x, y)

g(x, y) = 0

Teorema de Lagrange (Con Curva con Puntos Finales)

Sean f(x, y) sujeta a la restricción g(x, y) = 0 (ecuación de una curva abierta con puntos finales A y B).

Sean f(x, y) y g(x, y) funciones con derivadas parciales continuas.

Si f(x, y) tiene un extremo en (x0, y0) y ∇g(x0, y0) ≠ 0 ⇒

⇒ ∃λ ∈ ℝ / ∇f(x0, y0) = λ∇g(x0, y0)

A4louksspwB4AAAAAElFTkSuQmCC

Para encontrar candidatos a (x0, y0) se resuelve el sistema de ecuaciones:

{

fx(x, y) = λgx(x, y)

fy(x, y) = λgy(x, y)

g(x, y) = 0

Se agregan los puntos finales A y B de la curva como candidatos a extremos para su análisis.

Método para la Obtención de Extremos Absolutos en Regiones Cerradas y Acotadas

Si z = f(x, y) es una función continua en una región cerrada y acotada R, alcanzará valores extremos, cada uno de los cuales puede estar:

  • en el interior de la región, en cuyo caso será un Punto Crítico
  • sobre la frontera de la región.

Procedimiento:

  1. Se calculan los valores de la función en los puntos críticos de f(x, y) en el interior de R.
  2. Se determinan los valores candidatos a extremos de f(x, y) sobre la frontera de R.
  3. Se evalúa la función en todos los puntos encontrados.

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El más grande es el valor máximo absoluto y el más pequeño es el valor mínimo absoluto.

Teorema de Lagrange en Tres Variables

Sean f(x, y, z) sujeta a la restricción g(x, y, z) = 0. Sean f(x, y, z) y g(x, y, z) funciones con derivadas parciales continuas.

Si f(x, y, z) tiene un máximo o mínimo en (x0, y0, z0) cuando está sometido a la restricción g(x, y, z) = 0, y ∇g(x0, y0, z0) ≠ 0, entonces existe un número real λ tal que:

∇f(x0, y0, z0) = λ∇g(x0, y0, z0)

Observación: el teorema es condición necesaria, pero no suficiente.