Extremos de Funciones de Varias Variables: Teoría y Ejemplos
Extremos de Funciones de Varias Variables
Extremos Relativos
Una función z = f(x, y) tiene un máximo local o relativo en (a, b) si existe una región rectangular abierta R que contiene a (a, b) tal que:
f(x, y) ≤ f(a, b), ∀(x, y) ∈ R.
Una función z = f(x, y) tiene un mínimo local o relativo en (a, b) si existe una región rectangular abierta R que contiene a (a, b) tal que:
f(x, y) ≥ f(a, b), ∀(x, y) ∈ R.
Extremos Absolutos
La función z = f(x, y) tiene un máximo absoluto en (a, b) si f(x, y) ≤ f(a, b) en todo su dominio.
La función z = f(x, y) tiene un mínimo absoluto en (a, b) si f(x, y) ≥ f(a, b) en todo su dominio.
Extremos Relativos: Teorema
Si z = f(x, y) tiene un extremo relativo en (a, b) y las derivadas parciales de f existen en (a, b), entonces:
fx(a, b) = 0 y fy(a, b) = 0
También puede ocurrir que z = f(x, y) tenga un extremo en (a, b) y allí las derivadas parciales no existan.
Punto Crítico
(a, b) ∈ Df es un punto crítico de z = f(x, y) si:
- fx(a, b) = 0 y fy(a, b) = 0, o
- fx(a, b) ∉ ℝ o fy(a, b) ∉ ℝ
Condición Necesaria para la Existencia de Extremo Relativo
Si z = f(x, y) tiene un extremo relativo en (a, b) ⇒ (a, b) es un punto crítico de f(x, y)
Esta condición es necesaria, pero no es suficiente.
Criterio para la Clasificación de Puntos Críticos
Sea z = f(x, y), con derivadas parciales segundas continuas en una región rectangular abierta R que contiene a (a, b), con fx(a, b) = 0 y fy(a, b) = 0.
Definimos la función hessiana como:
g(x, y) = fxx(x, y) ⋅ fyy(x, y) – [fxy(x, y)]2, ∀(x, y) en R.
Extremos Absolutos
La función z = f(x, y) tiene un máximo absoluto en (a, b) si f(x, y) ≤ f(a, b) en todo su dominio.
La función z = f(x, y) tiene un mínimo absoluto en (a, b) si f(x, y) ≥ f(a, b) en todo su dominio.
Teorema de Existencia de Extremos Absolutos
Si z = f(x, y) es una función continua en una región cerrada y acotada R, entonces tiene un máximo absoluto f(a, b) y un mínimo absoluto f(c, d) en puntos (a, b) y (c, d) de R y se cumple:
f(c, d) ≤ f(x, y) ≤ f(a, b); ∀ (x, y) ∈ R
Teorema de Lagrange (Forma de Utilizarlo)
Sean f(x, y) sujeta a la restricción g(x, y) = 0. Sean f(x, y) y g(x, y) funciones con derivadas parciales continuas.
Si f(x, y) tiene un extremo en (x0, y0) y ∇g(x0, y0) ≠ 0 ⇒ ∃λ ∈ ℝ / ∇f(x0, y0) = λ∇g(x0, y0)
Para encontrar candidatos a (x0, y0) se resuelve el sistema de ecuaciones:
{ fx(x, y) = λgx(x, y)
fy(x, y) = λgy(x, y)
g(x, y) = 0
Teorema de Lagrange (Con Curva con Puntos Finales)
Sean f(x, y) sujeta a la restricción g(x, y) = 0 (ecuación de una curva abierta con puntos finales A y B).
Sean f(x, y) y g(x, y) funciones con derivadas parciales continuas.
Si f(x, y) tiene un extremo en (x0, y0) y ∇g(x0, y0) ≠ 0 ⇒
⇒ ∃λ ∈ ℝ / ∇f(x0, y0) = λ∇g(x0, y0)
Para encontrar candidatos a (x0, y0) se resuelve el sistema de ecuaciones:
{
fx(x, y) = λgx(x, y)
fy(x, y) = λgy(x, y)
g(x, y) = 0
Se agregan los puntos finales A y B de la curva como candidatos a extremos para su análisis.
Método para la Obtención de Extremos Absolutos en Regiones Cerradas y Acotadas
Si z = f(x, y) es una función continua en una región cerrada y acotada R, alcanzará valores extremos, cada uno de los cuales puede estar:
- en el interior de la región, en cuyo caso será un Punto Crítico
- sobre la frontera de la región.
Procedimiento:
- Se calculan los valores de la función en los puntos críticos de f(x, y) en el interior de R.
- Se determinan los valores candidatos a extremos de f(x, y) sobre la frontera de R.
- Se evalúa la función en todos los puntos encontrados.
El más grande es el valor máximo absoluto y el más pequeño es el valor mínimo absoluto.
Teorema de Lagrange en Tres Variables
Sean f(x, y, z) sujeta a la restricción g(x, y, z) = 0. Sean f(x, y, z) y g(x, y, z) funciones con derivadas parciales continuas.
Si f(x, y, z) tiene un máximo o mínimo en (x0, y0, z0) cuando está sometido a la restricción g(x, y, z) = 0, y ∇g(x0, y0, z0) ≠ 0, entonces existe un número real λ tal que:
∇f(x0, y0, z0) = λ∇g(x0, y0, z0)
Observación: el teorema es condición necesaria, pero no suficiente.