Ejercicios Resueltos de Distribuciones de Probabilidad: Binomial, Normal y Poisson

Distribución Binomial

Problema 1: Trabajadores Desempleados (n=20, p=0.06)

Identificación: Se trata de una distribución binomial porque hay un número fijo de ensayos (n=20 trabajadores), cada uno con dos resultados (desempleado/empleado), una probabilidad constante de “éxito” (p=0.06, ser desempleado), y los ensayos son independientes.

Datos:

• n = 20 (tamaño de la muestra)
• p = 0.06 (probabilidad de estar desempleado)
• q = 1 – p = 0.94 (probabilidad de estar empleado)
• Queremos P(X ≤ 2), donde X es el número de desempleados.

Cálculo: P(X ≤ 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)

Usamos la fórmula binomial: P(X=k) = C(n, k) * p^k * q^(n-k)

• P(X=0) = C(20, 0) * (0.06)^0 * (0.94)^20 = 1 * 1 * (0.94)^20 ≈ 0.290095
• P(X=1) = C(20, 1) * (0.06)^1 * (0.94)^19 = 20 * 0.06 * (0.94)^19 ≈ 0.370333
• P(X=2) = C(20, 2) * (0.06)^2 * (0.94)^18 = 190 * 0.0036 * (0.94)^18 ≈ 0.224560
• P(X ≤ 2) ≈ 0.290095 + 0.370333 + 0.224560 ≈ 0.884988

Respuesta (4 decimales): La probabilidad de obtener dos o menos trabajadores desempleados es 0.8850.

Problema 2: Compradores de Oreo (n=15, p=0.1)

La probabilidad de éxito (un comprador elige Oreo) es p = 0.1, y el número de ensayos (compradores) es n = 15. La probabilidad de que cuatro o menos compradores escojan Oreo se calcula como:

P(X ≤ 4) = Σ (nCk) * p^k * (1-p)^(n-k) para k = 0, 1, 2, 3, 4

donde nCk es la combinación de n tomados k a la vez. Se puede usar una calculadora o software estadístico para calcular esta suma.

Respuesta: La probabilidad de que cuatro o menos compradores escojan Oreo es aproximadamente 0.987 o 98.7%.

Problema 3: Trabajadores Desempleados (n=10, p=0.12)

• n (número de ensayos) = 10 (el tamaño de la muestra)
• p (probabilidad de éxito en un ensayo) = 12% = 0.12 (la probabilidad de que un trabajador esté desempleado)
• k (número de éxitos deseados) = 0, 1 o 2 (queremos la probabilidad de obtener dos o menos trabajadores desempleados)

P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)

Donde C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!) es el coeficiente binomial.

• C(10, 0) = 10! / (0! * (10-0)!) = 10! / (1 * 10!) = 1
• P(X=0) = 1 * (0.12)^0 * (1-0.12)^(10-0) = 1 * 1 * (0.88)^10
• P(X=0) = (0.88)^10 ≈ 0.278500975
• C(10, 1) = 10! / (1! * (10-1)!) = 10! / (1 * 9!) = 10
• P(X=1) = 10 * (0.12)^1 * (0.88)^(10-1) = 10 * 0.12 * (0.88)^9
• P(X=1) = 1.2 * 0.316478381 ≈ 0.3797740572
• C(10, 2) = 10! / (2! * (10-2)!) = 10! / (2 * 8!) = (10 * 9) / (2 * 1) = 45
• P(X=2) = 45 * (0.12)^2 * (0.88)^(10-2) = 45 * 0.0144 * (0.88)^8
• P(X=2) = 0.648 * 0.361259879 ≈ 0.233013058

P(X ≤ 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)

P(X ≤ 2) ≈ 0.2785 + 0.3798 + 0.2330 = 0.8913

Problema 4: Compradores de Oreo (n=20, p=0.10)

Problema 2: Distribución Binomial

• n (número de ensayos) = 20 (el tamaño de la muestra)
• p (probabilidad de éxito en un ensayo) = 10% = 0.10 (la probabilidad de que un comprador escoja Oreo)
• q (probabilidad de fracaso) = 1 – p = 1 – 0.10 = 0.90
• k (número de éxitos deseados) = 0, 1, 2, 3 o 4 (queremos la probabilidad de que menos o igual de cuatro compradores escojan Oreo)

3. Aplicar la fórmula de probabilidad binomial:

La probabilidad de obtener exactamente k éxitos en n ensayos está dada por la fórmula:

P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)

Donde C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!) es el coeficiente binomial.

4. Calcular la probabilidad para k = 0, 1, 2, 3 y 4:

• P(X=0): C(20, 0) * (0.10)^0 * (0.90)^20 = 1 * 1 * 0.1215766546 ≈ 0.1216
• P(X=1): C(20, 1) * (0.10)^1 * (0.90)^19 = 20 * 0.10 * 0.1350851718 ≈ 0.2702
• P(X=2): C(20, 2) * (0.10)^2 * (0.90)^18 = 190 * 0.01 * 0.1500946353 ≈ 0.2852
• P(X=3): C(20, 3) * (0.10)^3 * (0.90)^17 = 1140 * 0.001 * 0.166771817 ≈ 0.1901
• P(X=4): C(20, 4) * (0.10)^4 * (0.90)^16 = 4845 * 0.0001 * 0.1853020189 ≈ 0.0899

5. Calcular la probabilidad total de que menos o igual de cuatro compradores escojan Oreo:

P(X ≤ 4) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4)

P(X ≤ 4) ≈ 0.1216 + 0.2702 + 0.2852 + 0.1901 + 0.0899 = 0.9570

Respuesta 2: La probabilidad de que menos o igual de cuatro compradores escojan Oreo es aproximadamente 0.9570.

Distribución Normal

Problema 1: Costos del Síndrome del Túnel Carpiano (μ=30000, σ=9000)

Identificación: Se indica que los costos están normalmente distribuidos. Necesitamos usar la tabla Z (o una calculadora de distribución normal).

Datos:

• Media (μ) = $30,000
• Desviación Estándar (σ) = $9,000

Cálculo de P(X < 40000)

Queremos la proporción (probabilidad) de que el costo (X) sea menor de $40,000, es decir, P(X < 40000).

• Cálculo:
• Estandarizar el valor X=40,000 a un puntaje Z:

Z = (X – μ) / σ = (40,000 – 30,000) / 9,000 = 10,000 / 9,000 ≈ 1.11

• Buscar la probabilidad P(Z < 1.11) en la tabla Z.
• Si usas la tabla que proporcionaste antes (P(0 < Z < z)), buscas Z=1.11, que da aproximadamente 0.3665. La probabilidad P(Z < 1.11) sería 0.5 (área a la izquierda de la media) + 0.3665 = 0.8665.
• Si usas una tabla Z acumulativa (P(Z ≤ z)), buscas Z=1.11 directamente, que da aproximadamente 0.8665.

Respuesta (4 decimales): La proporción de los costos menor de $40,000 es 0.8665.

Cálculo de P(20000 ≤ X ≤ 50000)

z = (x – μ) / σ, donde x es el valor, μ es la media ($30,000) y σ es la desviación estándar ($9,000).

• z1 = (50000 – 30000) / 9000 = 20000 / 9000 ≈ 2.22
• z2 = (20000 – 30000) / 9000 = -10000 / 9000 ≈ -1.11

La probabilidad P(20000 ≤ X ≤ 50000) es equivalente a P(-1.11 ≤ Z ≤ 2.22).

Usando una tabla Z (área entre 0 y z):

• Área(0 a 2.22) ≈ 0.4868
• Área(0 a -1.11) = Área(0 a 1.11) ≈ 0.3665

P(-1.11 ≤ Z ≤ 2.22) = Área(0 a 2.22) + Área(0 a -1.11) ≈ 0.4868 + 0.3665 = 0.8533

Respuesta: La proporción de costos entre $20,000 y $50,000 es aproximadamente 0.8533 o 85.33%.

Cálculo de P(15000 ≤ X ≤ 45000)

• μ (media) = $30,000
• σ (desviación estándar) = $9,000
• Queremos encontrar la proporción de costos entre $15,000 y $45,000, es decir, P(15000 ≤ X ≤ 45000).
• Para x = $15,000:

z1 = (15000 – 30000) / 9000 = -15000 / 9000 = -1.6666… ≈ -1.67 (redondeado a dos decimales para usar la tabla)

• Para x = $45,000:

z2 = (45000 – 30000) / 9000 = 15000 / 9000 = 1.6666… ≈ 1.67 (redondeado a dos decimales para usar la tabla)

• Para z = 1.67, buscamos en la fila 1.6 y la columna 0.07. El valor en la tabla es 0.4525. Esto representa el área entre z=0 y z=1.67.
• Para z = -1.67, debido a la simetría de la distribución normal, el área entre z=-1.67 y z=0 es la misma que el área entre z=0 y z=1.67, que es 0.4525.

La proporción que buscamos es el área bajo la curva normal entre z = -1.67 y z = 1.67. Esto se puede calcular sumando las áreas desde la media hasta cada uno de estos valores z:

Proporción = Área (z=-1.67 a z=0) + Área (z=0 a z=1.67)

Proporción = 0.4525 + 0.4525 = 0.9050

Cálculo de P(X > 50000)

1. Identificar la distribución:

El problema establece que los costos están normalmente distribuidos.

2. Definir los parámetros:

• μ (media) = $30,000
• σ (desviación estándar) = $9,000
• Queremos encontrar la proporción de costos que es mayor a $50,000, es decir, P(X > 50000).

3. Estandarizar el valor (convertir a puntaje z):

Usamos la fórmula z = (x – μ) / σ para convertir el valor de costo a un puntaje z.

• Para x = $50,000:

z = (50000 – 30000) / 9000 = 20000 / 9000 = 20 / 9 ≈ 2.2222

4. Usar la tabla de distribución normal estándar:

Necesitamos encontrar el área a la derecha de z = 2.2222. Usando la tabla proporcionada anteriormente (que muestra el área entre la media y z), podemos encontrar el área acumulativa a la izquierda de z = 2.22.

• Para z = 2.22, buscamos en la fila 2.2 y la columna 0.02. El valor en la tabla es 0.4868. Esta es el área entre z=0 y z=2.22.
• El área acumulativa a la izquierda de z = 2.22 es 0.5 (área a la izquierda de la media) + 0.4868 (área entre la media y z=2.22) = 0.9868.
• La proporción de costos mayor a $50,000 es el área a la derecha de z = 2.22, que es 1 – (área acumulativa a la izquierda de z = 2.22).
• P(Z > 2.22) = 1 – P(Z ≤ 2.22) = 1 – 0.9868 = 0.0132

Respuesta 3: La proporción de los costos que es mayor a $50,000 es aproximadamente 0.0132.

Distribución de Poisson

Problema 1: Plumas Defectuosas (λ=1.5)

Identificación: Se da una tasa promedio de eventos (plumas defectuosas) en un intervalo (por caja). Esto sugiere una distribución de Poisson.

Datos:

• Tasa promedio (λ) = 1.5 plumas defectuosas por caja.

Cálculo de P(X ≥ 8)

Queremos la probabilidad de encontrar ocho o más plumas defectuosas, P(X ≥ 8).

Cálculo: Es más fácil calcular la probabilidad complementaria: P(X ≥ 8) = 1 – P(X ≤ 7).

Usamos la fórmula de Poisson: P(X=k) = (e^(-λ) * λ^k) / k! , donde λ=1.5.

P(X ≤ 7) = P(X=0) + P(X=1) + … + P(X=7)

• P(X=0) = (e^-1.5 * 1.5^0) / 0! ≈ 0.223130
• P(X=1) = (e^-1.5 * 1.5^1) / 1! ≈ 0.334695
• P(X=2) = (e^-1.5 * 1.5^2) / 2! ≈ 0.251021
• P(X=3) = (e^-1.5 * 1.5^3) / 3! ≈ 0.125511
• P(X=4) = (e^-1.5 * 1.5^4) / 4! ≈ 0.047067
• P(X=5) = (e^-1.5 * 1.5^5) / 5! ≈ 0.014120
• P(X=6) = (e^-1.5 * 1.5^6) / 6! ≈ 0.003530
• P(X=7) = (e^-1.5 * 1.5^7) / 7! ≈ 0.000756
• P(X ≤ 7) ≈ 0.223130 + 0.334695 + 0.251021 + 0.125511 + 0.047067 + 0.014120 + 0.003530 + 0.000756 ≈ 0.999830
• P(X ≥ 8) = 1 – P(X ≤ 7) ≈ 1 – 0.999830 = 0.000170

Respuesta (5 decimales): La probabilidad de encontrar ocho o más plumas defectuosas en una caja es 0.00017.

Cálculo de P(X=0)

P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!

4. Calcular la probabilidad para k = 0 (cero plumas defectuosas):

• P(X=0) = (1.5^0 * e^(-1.5)) / 0!
• P(X=0) = (1 * e^(-1.5)) / 1
• P(X=0) = e^(-1.5)

Usando una calculadora, e^(-1.5) ≈ 0.2231301601

6. Redondear a cinco dígitos:

P(X=0) ≈ 0.22313

Problema 2: Plumas Defectuosas (λ=1.2)

Poisson con λ = 1.2. La probabilidad de encontrar ocho o más plumas defectuosas se calcula como:

P(X ≥ 8) = 1 – P(X ≤ 7)

Para calcular P(X ≤ 7), se utiliza la fórmula de la distribución de Poisson:

P(X = k) = (e^-λ * λ^k) / k!

donde k = 0, 1, 2, …, 7. Se suman estas probabilidades para obtener P(X ≤ 7), y luego se resta de 1 para obtener P(X ≥ 8). Se puede usar una calculadora o software estadístico para calcular esto.

Respuesta: La probabilidad de encontrar ocho o más plumas defectuosas en una caja es aproximadamente 0.0004 o 0.04%.

Cálculo de P(X=0)

P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!

• P(X=0) = (1.2^0 * e^(-1.2)) / 0!
• P(X=0) = (1 * e^(-1.2)) / 1
• P(X=0) = e^(-1.2)

Usando una calculadora, e^(-1.2) ≈ 0.3011942119

P(X=0) ≈ 0.30120

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