Secuencia en la enseñanza de la suma y la resta

Fase 1: Resuelven problemas aditivos de una sola etapa utilizando estrategias ligadas a la representación física y al conteo. Las limitaciones vienen dadas por la dificultad de representar números grandes y por la necesidad de realizar dobles conteos, lo que restringe el tamaño de los números con los que se puede trabajar. Por ejemplo, si usamos las manos difícilmente podemos superar problemas con números mayores que 20.

Fase 2: Empiezan a fijar los llamados hechos numéricos (tablas de sumar y restar).

Fase 3: Representar números mayores que diez utilizando el sistema de numeración decimal posicional.

Fase 4: Se introducen los algoritmos estándar de la suma y la resta, lo que permite resolver problemas aditivos con números más grandes.

Estrategias para la fase 1: resolver problemas aditivos de una etapa

Estrategias de suma

  • Contar todo: dar el cardinal de la unión de dos conjuntos. Una vez se ha construido el conjunto es necesario dar el cardinal del conjunto. Como consecuencia, se hace un uso cardinal del número. Responde a preguntas como «¿cuántos elementos hay?». Se puede dar respuesta usando la acción de contar, la coordinación de conjuntos o la subitización.
  • Si usamos la acción de contar todo, sólo se necesita poder contar hacia adelante desde el 1, por lo que el nivel de elaboración de la secuencia numérica exigido sería el de cadena irrompible. Además, será necesario que el alumno o la alumna tenga adquiridos los principios de correspondencia uno a uno y de cardinalidad para poder abordar la tarea.

Contar a partir de

Es el recurso de los dedos habitual y requiere el dominio de tres subhabilidades:

  • Iniciar el conteo desde un número distinto de uno.
  • Entender que la palabra que designa el cardinal de la primera colección puede usarse como elemento de un proceso de conteo (uso de la secuencia numérica).
  • Iniciar un conteo sobre la segunda colección con el siguiente numeral al que determina el cardinal de la primera colección.

Cuando empiezan a usar esta técnica, contarán sobre el sumando que se da en primer lugar. Después, de manera espontánea, lo harán sobre el mayor de los sumandos como estrategia simplificadora. Requiere un nivel mínimo de cadena numerable, pues se exige avanzar hacia adelante un número de pasos desde un número dado, lo que implica realizar un doble conteo.

Contar hacia arriba hasta

El conteo ha de detenerse al verbalizarse el minuendo. La solución será el número de palabras-número incluidas en el conteo. Para poder llevar a cabo una estrategia de resta del tipo contar hacia arriba hasta se necesita saber contar hacia adelante desde un número (que no necesariamente sea el 1) una cantidad determinada de números. De este modo, sin el soporte de material manipulable es necesario un doble conteo, lo que implica un nivel de elaboración de cadena numerable. Con la ayuda de material manipulable el nivel de elaboración podría reducirse hasta cadena fragmentable.

Contar hacia abajo

En esta estrategia se inicia un conteo descendente desde el minuendo, recitando tantas palabras-número como indique el sustraendo. La solución será la última palabra-número emitida. Esta estrategia necesita de un nivel de cadena numerable en el estudiante para poder ser puesta en práctica.

Contar hacia abajo hasta

Se inicia un conteo descendente desde el minuendo. El conteo ha de detenerse al verbalizarse el sustraendo. La solución será el número de palabras-número incluidas en el conteo. La estrategia necesita de un nivel de cadena numerable para poder ser puesta en práctica si se utiliza sin material manipulable.

Recursos tecnológicos y manipulativos: Bee-Bot y otros

En el ámbito matemático, Bee-Bot resulta especialmente útil para trabajar el pensamiento espacial y geométrico, reforzar la secuencia numérica en los primeros números naturales y comprender relaciones como mayor y menor a partir de la posición del robot en un tablero.

De este modo, la estrategia de contar todo puede trabajarse haciendo que el robot recorra todas las casillas correspondientes a la suma de dos cantidades, mientras que la estrategia de contar a partir de se introduce haciendo que Bee-Bot comience su recorrido desde un número dado y avance tantas posiciones como indique el otro sumando.

Del mismo modo, las estrategias de la resta pueden modelarse mediante el movimiento del robot:

  • Contar hacia arriba hasta: se representa situando al Bee-Bot en el número menor y avanzando hasta alcanzar el mayor, contabilizando los pasos realizados.
  • Contar hacia abajo: se trabaja haciendo que el robot retroceda desde el minuendo tantas casillas como indique el sustraendo.
  • Contar hacia abajo hasta: implica que el robot retroceda desde el minuendo hasta llegar al sustraendo; el número de movimientos realizados es el resultado de la resta.

Algoritmos estándar: sentido, limitaciones y apoyos

El objetivo de los algoritmos es facilitar la realización de operaciones con números de varias cifras. El desarrollo se centra en:

  • Describir y explicar el funcionamiento de los algoritmos estándar de la suma y la resta.
  • Identificar las dificultades ligadas a cada algoritmo.
  • Relacionar los pasos a seguir en los algoritmos con acciones sobre material manipulable.

Algoritmo estándar de la suma

Ejemplo: 76 + 47.

Descomposición por posiciones: 76 = 7D + 6U; 47 = 4D + 7U. Sumando unidades y decenas por separado: (6 + 7)U + (7 + 4)D = 13U + 11D. Como 13 unidades equivalen a 1 decena y 3 unidades, y 11 decenas equivalen a 1 centena y 1 decena, el resultado final es 123.

El algoritmo se inicia con un montaje que exige la alineación desde las unidades. Las limitaciones de la base 10 hacen que el algoritmo necesite un mecanismo para evitar que en una determinada posición aparezcan valores superiores a 9. El mecanismo conocido como llevar consiste en agrupar en unidades de orden superior y añadirlas a la siguiente columna.

Hay muchos errores porque los niños realizan las sumas y restas con el algoritmo simplemente siguiendo unas reglas sin entender el proceso que realizan. Para evitar estos errores y favorecer la comprensión, los materiales manipulativos son importantes. Los bloques multibase (cubos para unidades, barras para decenas y placas para centenas) ayudan a representar los números de forma concreta. Al sumar, se juntan las unidades, se agrupan de diez en diez y se sustituyen por una pieza de orden superior, lo que da sentido real a la llevada.

El ábaco también es un recurso muy útil, ya que refleja claramente el valor posicional. En él, al llegar a diez piezas en una columna, se intercambian por una pieza en la columna siguiente, reproduciendo exactamente el funcionamiento del algoritmo estándar.

Algoritmos de la resta: interpretaciones y variantes

Pedir prestado al minuendo

La justificación la encontramos en la descomposición polinómica de los números. De manera informal, se puede explicar diciendo que las unidades del minuendo han pedido refuerzos a las decenas del minuendo. Es decir, se realiza el proceso de la llevada de la suma, pero en sentido contrario. En lugar de agrupar en unidades de orden superior, se descompone en unidades de orden inmediatamente inferior. Conviene señalar que en este proceso el sustraendo no participa.

Pedir y pagar al sustraendo (algoritmo por compensación)

El algoritmo por compensación «pedir y pagar» exige comprender que:

  1. Cuando se añade un mismo valor a minuendo y sustraendo, el resultado de la resta no varía: por ejemplo, 65 – 17 = (65 + 10) – (17 + 10) = 75 – 27.
  2. El valor añadido a minuendo y sustraendo se puede aplicar a distintos órdenes de magnitud, según la estrategia elegida.

Otro algoritmo: ABN

En la metodología ABN, la resta de dos números consiste en ir quitando la misma cantidad de los dos números hasta que uno de ellos se quede en 0. La cantidad a quitar dependerá del dominio que tenga cada alumno, ya que se trata de una metodología abierta. Se parte de una rejilla de tres columnas: en la primera columna se va anotando la cantidad que se va quitando a los dos números y en la segunda y tercera columna la cantidad que queda tras quitar lo anotado en la primera columna.

Complejidad de los problemas aritméticos y comprensión del enunciado

Hay diferentes medidas de complejidad, donde destacan la estructura matemática del problema, la sintaxis del enunciado y, especialmente, la semántica del mismo. En este tema se pone el foco en dos elementos clave del enunciado:

Uso de palabras clave

El alumnado suele subrayar ciertos datos y buscar palabras clave que supuestamente indican la operación que debe realizarse. Estas palabras pueden ser verbos matemáticos como «restar» o «dividir», verbos cotidianos como «ganar» o «perder», u otras expresiones que sugieren relaciones entre cantidades, como «en total» o «más que». Pero utilizar esta estrategia de forma mecánica provoca más errores.

Esquemas conceptuales evocables

Al leer un problema, el alumnado activa esquemas mentales asociados a contextos conocidos, como el tiempo, la comparación de cantidades, el reparto o el cambio. Estos esquemas permiten interpretar la situación y deducir la operación necesaria, incluso cuando esta no aparece explícitamente en el enunciado. Existen problemas en los que la operación se presenta de forma directa; a estos se les podría llamar problemas de ábaco, ya que la historia gira únicamente en torno a números y operaciones. En cambio, otros problemas con la misma operación aritmética requieren activar esquemas conceptuales más complejos. La dificultad de un problema aumenta cuando el alumnado debe identificar el esquema adecuado sin que este esté explícito en el texto. Además, algunos contextos activan esquemas escolares muy arraigados que pueden llevar a respuestas automáticas incorrectas si no se reflexiona sobre el significado real de la situación.