Teorema de Varignon

Teorema de Varignon: La suma de los momentos de varias fuerzas concurrentes respecto de un punto O es igual al momento de la resultante de dichas fuerzas.

Uniones entre sólidos

Fuerzas de enlace: Los sólidos relacionados a través de uniones transmiten cargas llamadas fuerzas de enlace. Estas fuerzas cumplen el principio de acción y reacción. Si separamos virtualmente ambos sólidos, sobre cada uno aparece el efecto del otro: las fuerzas de enlace sobre uno son las opuestas de las que actúan sobre el otro. Al recomponer los sólidos, las fuerzas de uno se anulan con las del otro, pero existen y deben ser consideradas.

Para el estudio de las uniones entre sólidos se deben analizar una por una: se comienza considerando que sólo existiera dicho elemento, identificando los movimientos que la unión permite realizar e impide. Los grados de libertad se dividen entre movimientos permitidos y movimientos impedidos. Una traslación impedida lleva asociada una fuerza en dicha dirección; un giro impedido lleva asociado un momento.

Cuando se analizan dos sólidos, el procedimiento anterior es aplicable: considere uno de los dos sólidos fijado y estudie la capacidad de movimiento del segundo respecto del primero.

Tipos habituales de apoyos y sus reacciones

  • Empotramiento plano: Impide cualquier movimiento. Reacciones: dos fuerzas y un momento.
  • Articulación plana: Impide cualquier desplazamiento (fuerzas en dos direcciones), pero permite el giro.
  • Deslizadera articulada plana: Permite el giro y el desplazamiento en una dirección. Reacción: fuerza en la dirección cuyo desplazamiento está impedido.
  • Deslizadera rígida: Permite traslación en una dirección. Reacción: fuerza perpendicular y momento.

Contacto no puntual

En bloques con caras planas no se puede considerar un punto de contacto concreto en el que aplicar la fuerza normal y la de rozamiento. El reparto de las fuerzas normal y de rozamiento por la superficie no tiene por qué ser uniforme. Se pueden definir fuerzas puntuales equivalentes, N y FR, que representen las resultantes de las distribuciones reales de fuerza normal y de rozamiento.

La línea de acción de FR puede estar definida, mientras que la fuerza puntual equivalente a la distribución de la fuerza normal, aunque se conoce su dirección y sentido, no tiene necesariamente determinada la posición exacta de su línea de acción. En ese caso no es posible plantear una ecuación de equilibrio de momentos, ya que el brazo de N no está determinado; sólo podrán plantearse los balances de fuerzas.

Velocidad angular y aceleración angular

Significado: En movimiento general un sólido se mueve cambiando de orientación; el eje puede ir cambiando su orientación. ω es un vector siempre en la dirección del eje de giro. En situación general, ω puede cambiar tanto en módulo como en dirección; por ello α puede desalinarse respecto al eje de giro.

Relación entre aceleración y velocidad angular:
α = dω/dt = (d|ω|/dt) u_e + ω (du_e/dt).

El primer término expresa cómo está cambiando el módulo de ω. El segundo término refleja el cambio de dirección de ω (variación del vector director u_e).

Rodadura pura

Rodadura pura entre dos elementos móviles

Se considera el caso de dos sólidos con movimiento plano donde se produce rodadura sin deslizamiento. Existe un punto de contacto en el que contactan un punto de cada sólido. Para analizarlo se estudia el movimiento relativo del punto A2 respecto al sólido 1. El perfil del sólido 1 actúa como la base del 2; el perfil del 2 actúa como la ruleta. Es posible aprovechar curvas polares.

El punto de contacto entre base y ruleta es el CIR (centro instantáneo de rotación). En el movimiento de arrastre, la velocidad que tendría A1 si perteneciera al sólido 2 es la velocidad de A2, y lo mismo para las aceleraciones. Los dos puntos en contacto tienen la misma velocidad. No necesariamente tienen la misma aceleración; las proyecciones de sus aceleraciones sobre la recta tangente al contacto son iguales.

Rodadura pura sobre pista fija

Cuando la pista es fija, el punto de contacto en el elemento fijo no se mueve: su velocidad y aceleración son nulas. Por tanto, los dos puntos en contacto tienen la misma velocidad: el punto de contacto en el sólido móvil tendrá velocidad nula y actúa como polo de velocidades del elemento.

La proyección de las aceleraciones de los dos puntos en contacto sobre la tangente al contacto ha de ser la misma. Como el punto del suelo no tiene aceleración, la aceleración del punto de contacto del elemento móvil debe ser perpendicular a la tangente del contacto; por tanto, su dirección es conocida.

Centroides y secciones

Centroide: Gy = (1/A) * ∫ y dA.

  • Triángulo: A = b h / 2 ; dA = b_y * dy
  • Semicírculo: A = π R2 / 2 ; dA = R2 * dθ / 2
  • Semicircunferencia: L = π R ; dL = R * dθ
  • Cuarto de circunferencia (mención aislada en el contenido original)

Volúmenes y áreas giradas

Volumen: V = ∫ dV.

  • Semiesfera: dV = π r2 dz ; R2 = r2 + z2
  • Cono: dV = π r2 dz ; r / z = R / h

Momentos de inercia y cálculos

Definición general: Io = ∫ r2 dm = m / V ∫ r2 dV.

Ejemplos y elementos:

  • Esfera: V = 4 π R3 / 3 ; dV = 4 π r2 dr
  • Ixy: Ixy = ∫ z2 dm = m / V ∫ z2 dV.
  • Prisma recto: V = A * h ; dV = A * dz
  • Iz: Iz = ∫ r2 dm = m / V ∫ r2 dV.
  • Cilindro: V = π R2 * h ; dV = h * 2 π r dr
  • Cono: V = π R2 * h / 3 ; dV = π r2 dz ; r / z = R / h

Notas adicionales

En todos los desarrollos anteriores se han mantenido las expresiones y fórmulas contenidas en el documento original, corrigiendo ortografía, puntuación y mayúsculas para una lectura más clara sin eliminar ni reducir contenido técnico.